Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 36

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Funzioni continue

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Funzioni continue

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§ 36. — Funzioni continue.

$\alpha )$ Sia $y=f(x)$ una funzione reale della $x$ definita in un certo intervallo. Hanno speciale importanzaa tra così fatte funzioni¹ quelle funzioni che si sogliono chiamare continue, perchè variano con continuità al variare della $X$, cosicché se la $x$ varia di pochissimo, anche la $y$ varia di pochissimo. Prima di dare una definizione precisa di tali funzioni osserviamo che la fisica ci dà un esempio non soltanto di funzioni continue, ma anche di funzioni non continue (discontinue).

Sia, p. es., data una certa quantità di ghiaccio alla temperatura di $-10^{\circ }$. Noi indicheremo con $y$ la minima quantità di calore necessaria per elevare la temperatura del ghiaccio sa $-10^{\circ }$ a $x$ gradi. La $y$ sarà una quantità definita per tutti i valori di $x$, che corrispondono a temperature sperimentalmente raggiungibili; sarà cioè una funzione di $x$ (positiva per $x>-10^{\circ }$, negativa per $x<-10$, nulla per $z=-10$). Consideriamo la $y$ come funzione della $x$ nell'intervallo $<(-10,0)$. In questo intervallo la $y$ è continua, perchè varia con continuità al variare continuo di $x$, in quanto che per piccolissimi innalzamenti di temperatura occorrono piccolissime quantità di calore. Anzi, se noi ricorriamo ad una rappresentazione grafica, la curva immagine è, come insegna la fisica, prossimamente coincidente con un segmento rettilineo $MC$² (fig. )

Fig. 10.

Ma consideriamo la $y$ in tutto l'intervallo $(-10,+2)$.

Ricordiamo che, se si somministra a poco a poco del calore al ghiaccio per innalzarne la temperatura, si osserva che, giunto a $0$, il termometro per un po' di tempo non segna aumento di temperatura, perchè il calore fornito viene assorbito dalla liquefazione del ghiaccio.

Quando questo è tutto liquefatto, la temperatura ricomincia a salire man mano. Per $100>x>0$ la nostra funzione $y$ è rappresentata sensibilmente da un altro segmento $DN$, che non è però prolungamento di $mC$

Il segmento $CD$ rappresenta il salto, la discontinuità che ha la $y$ per $x=0$, , ed ha per misura proprio la misura della quantità di calore che la liquefazione del ghiacci ha assorbito. Come si vede, per fa variare di pochissimo la temperatura, si richiede, generalmente pochissimo calore; ma, se si tratta invece di passare da una temperatura negativa di $-\epsilon$ alla temperatura di $+\epsilon$, dove $\epsilon$ è un numero positivo, la quantità di calore necessaria non è piccolissima, anche se $\epsilon$ è piccolissimo, ed è sempre maggiore della quantità di calore necessaria alla fusione del ghiaccio.

In altre parole, il valore di $y$ per $x=0$ è rappresentato dal segmento $OC$, mentre i valori di $y$ nei punti di un intorno destro di $O$, per quanto piccolo, non sono già assai prossimi alla misura di $OC$, ma sono rappresentati da segmenti che differiscono da $OC$ ma non meno che $CD$, cosicchè il $\lim y$ per $x=0+0$ (cioè quando $x$ tende a zero venendo da destra) è uguale ad $OD$, e non al valore $OC$, che $y$ ha nel punto $x=0$. Perciò si dice che la $y$ è discontinua nel punto $x=0$.

Si pone anzi la seguente definizione generale:

Sia $y=f(x)$ una funzione definita in un intervallo (a, b). Sia c un punto interno a questo intervallo. Se $\lim _{x=c+0}f(x)=f(c)$ [se $\lim _{x=c-o}f(x)=f(c)$]. In tal caso infatti non avrebbe significato parlare del $\lim _{x=c-0}f(x)$ [del $\lim _{x=c+0}f(x)$] perchè $f(x)$ non è definita a sinistra )a destra) di c.

La formola $\lim _{x=c\not =0}f(x)=f(c)$ si può anche scrivere nella forma $\lim _{h=\pm 0}f(c+h)=f(c)$.

Affinchè dunque $f(x)$ sia continua, p. es., in un punto $c$ interno all'intervallo $(a,b)$, i due limiti $\lim _{x=c+}f(x),\lim _{x=c-}f(x)$ devono esistere entrambi ed essere uguali as $f(c)$. Nell'es. precedente il $\lim _{x=0+}y$ esisteva, ma non era uguale al valore di $y$ per $x=0$. In altri casi di funzioni discontinue (non continue), mancano l'uno o l'altro die limiti precedenti, o mancano tutti e due.

Se una funzione $f(x)$ è continua in ogni punto $c$ dell'intervallo ($a,b$) la $f(x)$ si dice continua nell'intervallo (a,b).

Una funzione complessa $u(x)+iv(x)$ si dirà continua per $x=a$, se $u(x),v(x)$ sono continue per $x=a$.

$\beta$) Dalla definizione stessa dei teoremi del § 35 segue che:

La somma ed il prodotto di più funzioni continue in un punto c [o nell'intervallo (a, b)] sono continui nello stesso punto (nello stesso intervallo).

Se $f(x),\varphi (x)$ sono cintinue in c, e $\varphi (c)\not =0$, allora il rapporto ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ esiste in un intorno di questo punto ed è continuo per$x=c$.

Esempi di funzioni continue.

1° La fuhnzione $\operatorname {sen} x$ è continua dappertutto. basta far vedere che $\lim _{h=0}\operatorname {sen}(x+h)=\operatorname {sen} x$, ossia che:

$\lim _{h=o}[\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x]=0$.

Ora $|\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|=2\left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|\leq |h|$, perchè $\left|\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)\right|$ non può superare l'unità e $\left|\operatorname {sen} {\frac {h}{2}}\right|\leq \left|{\frac {h}{2}}\right|$.

Quindi, se $\epsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, in tutto l'intorno $(-\epsilon ,\epsilon )$, del punto $h=0$, ossia per $|h|<\epsilon$, si ha $|\operatorname {sen}(x+h)-\operatorname {sen} x|\epsilon$.

2° La funzione $a^{x}(a>0)$ è continua.

3° La funzione $\log _{a}x(a>0<9$ è continua.

4° La funzione $y=\tan x$ è continua per $x\not =\pm {\frac {\pi }{2}}$ poichè è quoziente delle funzioni continue $\operatorname {sen} x,\cos x$, di cui la seconda è nulla solo per $x=\pm {\frac {\pi }{2}}$ (a meno di multipli di $2\pi$).

$\gamma$) Talvolta avviene che una funzione è continua in tutti i punti di un intervallo, eccetto che in uno o più punti, in cui la funzione può anche non essere definita. Tali punti si diranno i punti singolari della funzione in tale intervallo. Così, p. es., la funzione $y={\frac {1}{x-a}}$ è continua dappertutto, eccetto che nel punto $x=a$, dove essa non è definita. Il punto $x=a$, dove essa non è definita. Il punto $x=a$ è il punto singolare di questa funzione nell'intervallo $(\infty ,+\infty$. In questo caso percò esiste il $\lim _{x=a}y$ e si ha $\lim _{x=a}y=\infty$

Ogni qualvolta una funzione continua $f(x)$ ha il punto $x=a$ come punto singolare, ed è $\lim _{x=a}f(x)=\infty$, noi diremo che $x=a$ è un punto d'infinito di $f(x)$, o nche che $f(x)$ vi diventa infinita.

A meno di esplicita dichiarazione in contrario, noi, quando parleremo di funzioni continue in un intervallo, escluderemo sempre che possaggano punti singolari in tale intervallo.

$\delta$) Sia $y=f(z),z=\varphi (x)$ e sia $\lim _{x=a}\varphi (x)=b$. Sia la $y$ continua per $z=b$; e si possa considerare la $y=f[\varphi (x)]$ come funzione della $x$ in un intorno del punto $x=a$. Dico che

$\lim _{x=a}f[\varphi (x)]=f[\lim _{x=a}\varphi (x)]=f(b)$,

ossia che il simbolo f di funzione continua si può permutare col simbolo di limite. Infatti, poichè $f(z)$ è continua per $z=b$, è $\lim _{z=b}y=\lim _{z=b}f(z)=f(b)$. E quindi (§ 35, $\delta$, pag. 116) anche

$\lim _{x=a}y=\lim _{x=a}f[\varphi (x)]=f(b).$ c.d.d.

Così, p. es., $\lim _{x=n}\log f(x)=\log[\lim _{x=a}f(x)]$, se il $\lim _{x=a}f(x)$ è finito e positivo, cioè brevemente, ma incompletamente: Il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite.

Se $\lim _{x=a}f(x)$ esiste ed è uguale ad un numero b finito

$\lim _{x=a}h^{f(x)}=h^{h}$ (supposto $h>0$<).

Se $\lim _{x=a}f(x)=b$ si ha $\lim _{x=a}\operatorname {sen} f(x)=\operatorname {sen} b$, ecc.

$\epsilon$) Se $z=\varphi (y),y=f(x)$ sono funzioni continue, e se z si può considerare come funzione di x in tutto un intervallo (a, b), la z è in tale intervallo funzione continua della x.

Esempi.

1° Si dimostri che $x^{c}(c=$cost,. $x>0$) + continua.

Ris. Infatti $x^{c}=a^{y}$, dove $y=\log _{a}(x^{c})=c\log _{a}x$. Poichè $a^{y}$ è continua, $y=f(x)=c\log _{a}x$ è pure continua, anche $x^{c}$ è continua. Oss. Questo teorema, se $x<0$, e c'è, p. es., un intero positivo, è ancora vero; lo si dimostra osservando che $x^{c}$ è il prodotto di $c$ funzioni tutte uguali a $x$ e quindi continue.

2° La funzione $y=\log f(x)$ è continua per quei valori della $x$, per cui $f(x)$ è continua e positiva.

Note

1. Restano così escluse dalle seguenti considerazioni le funzioni definite in un gruppo $G$ di punti, che non sia un intervallo.
2. Avverto che la figura rappresenta soltanto, qualitativamente, e non quantitativamente, il fenomeno fisico.