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FUNZIONI, LIMITI

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Oss. Questo teorema, se $x<0$ , e c'è, p. es., un intero positivo, è ancora vero; lo si dimostra osservando che $x^{c}$ è il prodotto di $c$ funzioni tutte uguali a $x$ e quindi continue.

2° La funzione $y=\log f(x)$ è continua per quei valori della $x$ , per cui $f(x)$ è continua e positiva.

§ 37. - Un limite fondamentale.

α) È ben evidente che, se due punti $A_{1},A_{2}$ si avvicinano indefinitamente nello stesso tempo ad uno stesso punto $L$ , un punto $A$ , il quale sia sempre compreso nell'intervallo $A_{1},A_{2}$ dovraà pure tendere ad $L$ . Questa osservazione rende intuitivo il

Teor. Se $y,y_{1},y_{2}$ , sono tre funzioni reali della x definite in uno stesso gruppo G, se per ogni valore di x in G la y è compresa tra $y_{1}$ ed $y_{2}$ ( $y_{1}\leq y\leq y_{2}$ oppure $y_{1}\geq y\geq y_{2}$ ), e se $\lim y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}$ , anche $\lim _{x=a}=\lim _{x=a}y_{1}=\lim y_{2}$ .

Supponiamo, p. es., $\lim _{z=a}y_{1}=\lim _{x=a}y_{2}=A=$ numero finito. Come al § 35 si dimostra che, dato un numero ε>0 piccolo a piacere, esiste un intorno α di a, in cui valgono entrambe le $|y_{1}-A|<\epsilon |y_{2}-A|<\epsilon$ . Poichè y è compreso tra $y_{1}<math>ed<math>y_{2}$ , sarà in $\alpha$ anche $|y-A|<\epsilon$ . Ne segue quindi che, dato $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un intorno $\alpha$ di a, in cui vale la $|y-A|<\epsilon$ . Perciò sarà $\lim _{x=a}y=A$ .

Il lettore troverà un utile esercizio, completando questa dimostrazione per il caso $A=\infty$ .

β) Applicheremo ora questo teorema alla dimostrazione della

$\lim _{x=0}{\frac {\operatorname {sen} x}{x}}=1$ .

Per una retta interpretazione di questa formola si ricordi che l'angolo $x$ deve essere misurato in radianti. Lo studente farà bene a rendersi intuitiva della formola costruendo un diagramma della curva $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ .

Ni ci accontenteremo di scrivere varii valori approssimati di detta funzione: ciò che basterà a rendere sensibile il fatto che, quanto più $x$ si avvicina a zero, tanto più $y={\frac {\operatorname {sen} x}{x}}$ si avvicina ad $1a$ .