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funzioni, limiti 109

per la stessa definizione, per calcolare il si devono esaminare i valori che assume in punti distinti dal punto .

Osservazione 4a. Se in un intorno di la riceve costantemente uno stesso valore , evidentemente il .

Osservazione 5a. La si legge: il limite di per è ; oppure tende al limite , o anche tende a per , oppure per la tende a zero, diventa infinitesima, è infinitesima.

Sarà un utile esercizio del lettore illustrare le precedenti definizioni per gli esempi del § 31.

Osservazione 6a. Supponiamo che esista il , e che, quando , si abbia oppure .

Dovranno esistere dei valori di tali che e in particolare che . Poichè ogni valore della non è inferiore a , sarà ; ma è un numero piccolo a piacere. Dovrà comunque essere .

Così pure, se per è , oppure , è .

Come si vede, le disuguaglianze precedenti relative alla si conservano attenuate (mi sia lecita la frase) per un limite di . Dico attenuate, perchè se, per esempio, , dalla posso non già dedurre che , ma soltanto che . Un fatto analogo ci è già noto (pagina 10) per i limiti superiore ed inferiore.

Osservazione 7a. Viceversa, se, per esempio, , esiste per ogni arbitrario un intorno di tale che in questo intorno . Scelto , sarà dunque in tale intorno . Un risultato analogo si ottiene se .

Dalla disuguaglianza [oppure ] si deduce quindi una disuguaglianza [oppure ] per i valori della ; la quale però (si noti) è valida non già per tutti i valori della ; ma soltanto per quei valori che la riceve in un conveniente intorno del punto

Invece dalla [oppure ] si ricava soltanto [oppure ], se questi limiti esistono e sono finiti. Anche dalla [oppure ] si ricava la stessa disuguaglianza.

B) Converremo di scrivere se .

Scelto ad arbitrio un numero positivo, e, posto , dovrà dunque esistere un intorno di tale che per tutti i