Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 29

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Funzioni; funzioni di funzioni

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§ 29. — Funzioni; funzioni di funzioni.

$\alpha )$ Assai spesso avviene di dover considerare nei calcoli un simbolo (lettera), a cui nel ragionamento si dànno valori distinti: Un tale simbolo si dirà essere una variabile; i simboli, a cui conserviamo in tutto il discorso lo stesso valore, si diranno essere una costante. Uno stesso simbolo potrà in un certo ragionamento essere costante, in un ragionamento successivo variabile¹.

Molto spesso avviene pure che di due variabili reali $x$ , $y$ , una, per esempio la $y$ , sia determinata, appena sia dato il valore della $x$ . Così, per esempio:

1° Se non varia la temperatura, il volume $y$ , che occupa un grammo di ossigeno, è completamente determinato dal valore $x$ della pressione, a cui è sottoposto;

2° La lunghezza $y$ di una data sbarra di ferro è completamente determinata dalla temperatura $x$ (se si trascurano le variazioni dovute alla pressione, cui è assoggettata la sbarra, o se si opera a pressione o tensione costante);

3° Lo spazio $y$ percorso nel vuoto da un grave che cade senza velocità iniziale in un certo luogo, è completamente determinato dal numero $x$ dei secondi impiegati nella caduta;

4° L’area $y$ di un poligono regolare inscritto in un dato cerchio è perfettamente determinata dal numero $x$ dei lati;

5° Il logaritmo decimale $y$ di un numero positivo $x$ è determinato dal valore di $x$ , eccetera.

Noi diciamo in questi casi che $y$ è funzione della $x$ . Non é però detto che la $x$ possa ricevere valori arbitrari. Nel 1° esempio $x$ non può avere che valori positivi (perchè non ha senso parlare di un gas sottoposto a una pressione negativa); nel 4° esempio $x$ non può che ricevere valori interi maggiori di 2; nel 5° esempio la $x$ non può ricevere valori negativi, perchè non esistono (nel campo dei numeri reali) i logaritmi decimali dei numeri negativi.

L’insieme $G$ dei valori della $x$ , per cui esiste il corrispondente valore della $y$ , si dirà il campo di esistenza della funzione $y$ . [p. 96 modifica]

Definizione Una variabile (reale) $y$ si dice funzione della variabile (reale) $x$ per i valori di $x$ che appartengono a un certo insieme $G$ (campo di esistenza della $y$ ) se ad ogni valore dato alla $x$ nell’insieme $G$ corrisponde uno e un solo valore della $y$ ².

Se poi $y$ e $z$ sono due tali funzioni della $x$ , definite nello stesso insieme $G$ , allora $y+iz$ si dirà funzione complessa della variabile reale $x$ definita nel campo $G$ .

Salvo avvertenza contraria, noi parleremo soltanto di funzioni reali.

$\beta$ ) Si hanno spessissimo funzioni definite analiticamente. Così per esempio $y=mx+n$ ( $m$ , $n$ costanti arbitrarie) rappresenta una variabile $y$ che ha un valore determinato, qualunque sia il valore dato allo $x$ [cioè il campo di esistenza della $y$ è formato da tutto l'intervallo $(-\infty ,+\infty )$ ]. Altrettanto avviene della $y=\operatorname {sen} x$ .

La $y=+{\sqrt {x-3}}$ definisce una funzione (reale) $y$ della $x$ nell’intervallo $(3,+\infty )$ .

La $y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {4-x}}$ definisce una funzione (reale) della $x$ nell’intervallo $(3,4)$ .

Invece la $y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {2-x}}$ non definisce nessuna funzione (reale) della $x$ . Infatti, qualunque sia il valore dato alla $x$ , uno almeno dei binomii $x-3$ , $2-x$ è negativo, così che non esiste (nel campo dei numeri reali) la sua radice quadrata.

La $\textstyle y={\frac {1}{x}}$ definisce una funzione della $x$ nel campo formato da tutti i valori della $x$ differenti da zero.

Per indicare che $y$ è una funzione della $x$ si suole scrivere $y=f(x)$ . Se poi si considera $x$ come un numero dato, lo stesso simbolo indica il valore corrispondente della funzione; in altri termini si fa la convenzione di rappresentare con $f(a)$ il valore che la funzione assume per il valore particolare $a$ della variabile: così $\textstyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}$ è il valore, che la funzione $\operatorname {sen} x$ assume per $\textstyle x={\frac {\pi }{2}}$ .

L’uguaglianza $y=f(x)$ esprime dunque semplicemente che $y$ [p. 97 modifica] è una funzione di $x$ , ossia che $y$ per ciascun valore $x=a$ di $x$ (almeno compreso in un certo gruppo $G$ ) assume un valore determinato che si indicherà con $f(a)$ . Si può benissimo adoperare anche un’altra lettera diversa da $f$ , scrivere per esempio:

$F(x),\varphi (x),\Phi (x),\Psi (x),g(x),\ldots$ ;

e l’uso di questi diversi simboli è conveniente, quando si deve parlare di più funzioni distinte.

Si suole anche considerare una classe estremamente particolare di funzioni $y$ della $x$ : quelle funzioni cioè che conservano uno stesso valore (sono costanti), qualunque sia il valore dato alla $x$ . Così, per esempio, il volume $y$ di un prisma di data base ed altezza conserva uno stesso valore al variare dell’angolo $x$ , che gli spigoli del prisma formano con la base (o, come si dice anche, è indipendente da $x$ ).

$\gamma )$ Talvolta si presentano quantità $y$ , funzioni di una variabile $z$ , la quale è a sua volta funzione di una terza variabile $x$ . Così per esempio, il volume $y$ di un kg. di una certa sostanza è una funzione della densità $z$ , la quale è funzione della temperatura $x$ . E spesso avviene, come risulta chiaro da questo esempio, che si possa senz’altro considerare la $y$ come funzione della stessa $x$ . Così, per esempio, $y=\log z$ è una funzione della $z$ ; e, se $z=\operatorname {sen} x$ , è $y=\log \operatorname {sen} x$ una funzione della $x$ . Ma si osservi che, mentre $z$ è definita per ogni valore della $x$ , la $y$ è definita soltanto per i valori positivi di $z$ . E quindi la $y$ , come funzione della $x$ , è definita solo per gli angoli $x$ dei primi due quadranti. In generale, se $y=f(x)$ , $z=\varphi (x)$ , potrà darsi che la $y$ si possa considerare come funzione $f[\varphi (x)]$ della $x$ . E una tal funzione esisterà per quei valori della $x$ , tali che il corrispondente valore della $z=\varphi (x)$ appartenga al campo ove è definita la $f(z)$ . Una tal funzione $f[\varphi (x)]$ si suol anche chiamare una funzione di funzione della $x$ . Se fosse, per esempio, $f(z)={\sqrt {z}}$ , $z=\varphi (x)=-x^{2}-1$ non esisterebbe la $f\left[\varphi (z)\right]$ , perchè, essendo sempre $-x^{2}-1$ negativo, il simbolo ${\sqrt {-x^{2}-1}}$ è privo di significato (nel campo dei numeri reali).

Note

↑ Se noi studiamo, per esempio, come variano il volume $v$ , la pressione $p$ , la temperatura $t$ di una certa massa di gas, allora in una serie di esperienze, in cui non si faccia variare la temperatura, si considereranno $p$ e $v$ come variabili; e in una successiva serie di esperienze, in cui non facciamo variare $v$ , considereremo $t$ e $p$ come variabili.
↑ In sostanza dunque l’idea di funzione non è che l’idea di corrispondenza tra due classi di numeri $x$ , $y$ (univoca in un senso), ossia coincide con l’idea di classe di coppie di numeri $(x,y)$ tale che per ogni $x$ di $G$ esista una e una sola coppia che lo contenga.

[1] Se noi studiamo, per esempio, come variano il volume $v$ , la pressione $p$ , la temperatura $t$ di una certa massa di gas, allora in una serie di esperienze, in cui non si faccia variare la temperatura, si considereranno $p$ e $v$ come variabili; e in una successiva serie di esperienze, in cui non facciamo variare $v$ , considereremo $t$ e $p$ come variabili.

[2] In sostanza dunque l’idea di funzione non è che l’idea di corrispondenza tra due classi di numeri $x$ , $y$ (univoca in un senso), ossia coincide con l’idea di classe di coppie di numeri $(x,y)$ tale che per ogni $x$ di $G$ esista una e una sola coppia che lo contenga.

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