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funzioni, limiti

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§ 29. — Funzioni; funzioni di funzioni.

$\alpha )$ Assai spesso avviene di dover considerare nei calcoli un simbolo (lettera), a cui nel ragionamento si dànno valori distinti: Un tale simbolo si dirà essere una variabile; i simboli, a cui conserviamo in tutto il discorso lo stesso valore, si diranno essere una costante. Uno stesso simbolo potrà in un certo ragionamento essere costante, in un ragionamento successivo variabile¹.

Molto spesso avviene pure che di due variabili reali $x$ , $y$ , una, per esempio la $y$ , sia determinata, appena sia dato il valore della $x$ . Così, per esempio:

1° Se non varia la temperatura, il volume $y$ , che occupa un grammo di ossigeno, è completamente determinato dal valore $x$ della pressione, a cui è sottoposto;

2° La lunghezza $y$ di una data sbarra di ferro è completamente determinata dalla temperatura $x$ (se si trascurano le variazioni dovute alla pressione, cui è assoggettata la sbarra, o se si opera a pressione o tensione costante);

3° Lo spazio $y$ percorso nel vuoto da un grave che cade senza velocità iniziale in un certo luogo, è completamente determinato dal numero $x$ dei secondi impiegati nella caduta;

4° L’area $y$ di un poligono regolare inscritto in un dato cerchio è perfettamente determinata dal numero $x$ dei lati;

5° Il logaritmo decimale $y$ di un numero positivo $x$ è determinato dal valore di $x$ , eccetera.

Noi diciamo in questi casi che $y$ è funzione della $x$ . Non é però detto che la $x$ possa ricevere valori arbitrari. Nel 1° esempio $x$ non può avere che valori positivi (perchè non ha senso parlare di un gas sottoposto a una pressione negativa); nel 4° esempio $x$ non può che ricevere valori interi maggiori di 2; nel 5° esempio la $x$ non può ricevere valori negativi, perchè non esistono (nel campo dei numeri reali) i logaritmi decimali dei numeri negativi.

L’insieme $G$ dei valori della $x$ , per cui esiste il corrispondente valore della $y$ , si dirà il campo di esistenza della funzione $y$ .

↑ Se noi studiamo, per esempio, come variano il volume $v$ , la pressione $p$ , la temperatura $t$ di una certa massa di gas, allora in una serie di esperienze, in cui non si faccia variare la temperatura, si considereranno $p$ e $v$ come variabili; e in una successiva serie di esperienze, in cui non facciamo variare $v$ , considereremo $t$ e $p$ come variabili.

[1] Se noi studiamo, per esempio, come variano il volume $v$ , la pressione $p$ , la temperatura $t$ di una certa massa di gas, allora in una serie di esperienze, in cui non si faccia variare la temperatura, si considereranno $p$ e $v$ come variabili; e in una successiva serie di esperienze, in cui non facciamo variare $v$ , considereremo $t$ e $p$ come variabili.

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