Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 20

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Proprietà di un determinante

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 5 - Proprietà di un determinante

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§ 20. — Proprietà di un determinante.

Teorema I. Se noi scambiamo ordinatamente le righe con le colonne, il determinante D non muta (cioè diventa un determinante $D'$ uguale a D).

(Per esempio ${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}})$.

Ciò si può dimostrare o notando che per la stessa definizione le righe e le colonne hanno lo stesso ufficio nel calcolo di $D$, oppure [ammesso il teorema per i discriminanti di ordine più piccolo dell’ordine di $D$, perchè il teorema è evidente per i determinanti di ordine 1, 2] osservando che, sviluppando $D$ secondo gli elementi della prima riga, si ha un risultato identico come sviluppando $D'$ a partire dalla prima colonna.

Teorerma II. Trasponendo (scambiando) due linee parallele, il determinante D cambia di segno (cioè si muta in un determinante $D'=-D$; anzi i termini di $D'$ sono ordinatamente uguali e di segno opposto a quelli di $D$)¹.

Il teorema è evidente per i determinanti di ordine 2. Ammesso il teorema per determinanti di ordine $n-1$, dimostriamolo per un determinante $D$ di ordine $n>2$. Il teorema sarà così completamente provato col metodo di induzione completa. Scambiamo in $D$, per esempio le righe $r^{esima}$ ed $s^{esima}$. Consideriamo la $t^{esima}$ riga con $t\not =r$, $t\not =s$. Scambiando le righe di posto $r$ ed $s$, si scambiano due righe nel complementi algebrici degli elementi di tale $t^{esima}$ riga, che sono (a meno del segno) determinanti di ordine $n-1$ e per i quali vale per ipotesi il teorema. Basta ricordare lo sviluppo di $D$ ottenuto partendo dalla $t^{esima}$ riga, perchè il teorema risulti provato anche per $D$.

Teorema III. Se un determinante ha due righe parallele uguali, esso è nullo. Infatti, scambiando tali righe, $D$ resta immutato; $D=-D$, cioè $D=0$.

Teorema IV. Se io moltiplico i complementi degli elementi di una linea di D rispettivamente per delle quantità $\mathrm {l_{1},l_{2},l_{3}} \ldots$ e sommo, il numero così ottenuto è uguale al determinante $\mathrm {D'}$ che si deduce dal dato, sostituendo le $\mathrm {l_{1},l_{2},l_{3}} \cdots$ ordinatamente al posto degli elementi della linea considerata.

Così, per esempio, se

$D={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$ si ha per esempio $l_{1}A_{2}+l_{2}B_{2}+l_{3}C_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\l_{1}&l_{2}&l_{3}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=D'$

Infatti i complementi delle $a_{2},b-2,c_{2}$ in $D$ e quelli delle $l_{1},l_{2},l_{3}$ in $D'$ sono per il teorema I di pagina 65 ordinatamente uguali. Ora per definizione $D'$ vale la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando le $l_{1}$, $l_{2}$, $l_{3}$ per i loro complementi algebrici in $D'$, che per la precedente osservazione valgono appunto i complementi algebrici $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ delle $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ in D.            come dovevasi dimostrare.

Teorema V. La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi di una linea ordinatamente per i complementi algebrici degli elementi corrispondenti di un'altra linea parallela alla prima e sommando, è nulla.

Così, per esempio, per il determinante $D$ del precedente teorema IV e $a_{1}A_{2}+b_{1}B_{2}+c_{1}C_{2}=0$, oppure $a_{1}B_{1}+a_{2}B_{2}+a_{3}B_{3}=0$, eccetera. Infatti la somma dei prodotti degli elementi $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ della prima riga per i complementi degli elementi $a_{2},b_{2},c_{2}$ della seconda riga vale (per il teorema IV ove si ponga $l_{1}=a_{1}$, $l_{2}=b_{1}$, $l_{3}=c_{1}$) quel determinante $D'$ che si ottiene da $D$ scrivendo $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ al posto di $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$. Ma tale determinante $D'$ avrà uguali la prima e la seconda riga e perciò (teorema III) è nullo.                                              come dovevasi dimostrare

Teorema VI. Se moltiplichiamo gli elementi di una linea determinante D per un numero K, il determinante resta moltiplicato per K (cioè si muta in un determinante $D'=KD$). Infatti i complementi algebrici degli elementi di quella linea restano invariati; dallo sviluppo di $D$ secondo gli elementi di tale linea si deduce pertanto subito il nostro teorema.

Corollario $\alpha$ Se due linee parallele di un determinante sono proporzionali, il determinante è nullo (perchè, moltiplicando gli elementi di una di queste linee per un conveniente fattore, il determinante si muta in un determinante con due linee parallele uguali).

Teorema VII. Se gli elementi di una linea di un determinante D sono ordinatamente $\mathrm {l_{1}+m_{1}}$, $\mathrm {l_{2}+m_{2}}$, $\mathrm {l_{3}+m_{3}}$, ....., il determinante D è uguale alla somma dei due determinanti ottenuti da D sostituendo agli elementi di tale linea una volta le $\mathrm {l_{1}}$, $\mathrm {l_{2}}$, ....., un’altra volta le $\mathrm {m_{1}}$, $\mathrm {m_{2}}$, .....

Teorema VIII. Se agli elementi $\mathrm {a_{i},b_{i},c_{i},\ldots }$ di una linea aggiungiamo gli elementi $\mathrm {a_{j},b_{j},c_{j}} ,\ldots$ di una linea parallela moltiplicati per un numero qualsiasi k (cioè scriviamo $a_{i}+ka_{j},b_{i}+kb_{j},\ldots$ al posto di $a_{i},b_{i},\ldots$, il determinante resta immutato (cioè si muta in un determinante $D'=D$). Infatti $D'$, è (teorema VII) somma del determinante che ha come elementi della linea considerata le $a_{i},b_{i},\ldots$, e dall’altro che in tale linea ha gli elementi $ka_{j},kb_{j},\ldots$. Il primo è lo stesso determinante $D$, il secondo ha proporzionali la riga degli elementi $a_{j},b_{j},\ldots$ e la riga degli elementi $ka_{j},kb_{j},\ldots$, ed è perciò nulla (Corollario α del teorema VI). Donde segue il teorema enunciato.

Teorema IX. Un determinante D di ordine n ha $\mathrm {\lfloor {\underline {n}}}$ termini.

Ciò è evidente per $n=2$; ammesso al solito vero per i determinanti d’ordine $n-1$, si noti che i complementi algebrici degli elementi di $D$ hanno $\lfloor {\underline {n-1}}$ termini. Per ottenere $D$ si deve moltiplicare ognuno degli $n$ elementi di una linea di $D$ per il suo complemento e sommare. Si avranno così $n\lfloor {\underline {n-1}}=\lfloor {\underline {n}}$ termini generalmente distinti.

Il teorema è così provato per induzione completa. (Si noti che per determinanti particolari qualcuno di tali termini può essere nullo, due termini si possono elidere; se un elemento è somma di più quantità, qualche termine si può scomporre nella somma di parecchi, eccetera).

Teorema X. Sono poi immediate le seguenti proposizioni:

a) Se tutti gli elementi di una stessa linea sono nulli, il determinante è nullo.

b) Se tutti gli elementi posti da una stessa banda della diagonale principale sono nulli, il determinante si riduce al termine principale.

c) Un determinante di ordine n si può trasformare in un determinante uguale di ordine $\mathrm {n+1}$, premettendo una riga ed una colonna, purchè gli elementi dell’una e dell’altra siano tutti nulli, eccettuato il primo che sia uguale all’unità.

Così, per esempio

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0\\e&a&b\\f&c&d\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&m&n&p\\0&1&0&0\\0&e&a&b\\0&f&c&d\end{vmatrix}}$, eccetera

Note

1. Un determinante $D$ di ordine $n$ è una somma di più quantità $T$, ciascuna delle quali è un prodotto di $n$ elementi del determinante stesso. Queste $T$ si dicono i termini di $D$ (confronta i teoremi del seguente § 21). Un termine $D$ è il prodotto di un suo elemento per un termine del complemento algebrico dell’elemento stesso.