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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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posto di $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$. Ma tale determinante $D'$ avrà uguali la prima e la seconda riga e perciò (teorema III) è nullo.                                              come dovevasi dimostrare

Teorema VI. Se moltiplichiamo gli elementi di una linea determinante D per un numero K, il determinante resta moltiplicato per K (cioè si muta in un determinante $D'=KD$). Infatti i complementi algebrici degli elementi di quella linea restano invariati; dallo sviluppo di $D$ secondo gli elementi di tale linea si deduce pertanto subito il nostro teorema.

Corollario $\alpha$ Se due linee parallele di un determinante sono proporzionali, il determinante è nullo (perchè, moltiplicando gli elementi di una di queste linee per un conveniente fattore, il determinante si muta in un determinante con due linee parallele uguali).

Teorema VII. Se gli elementi di una linea di un determinante D sono ordinatamente $\mathrm {l_{1}+m_{1}}$, $\mathrm {l_{2}+m_{2}}$, $\mathrm {l_{3}+m_{3}}$, ....., il determinante D è uguale alla somma dei due determinanti ottenuti da D sostituendo agli elementi di tale linea una volta le $\mathrm {l_{1}}$, $\mathrm {l_{2}}$, ....., un’altra volta le $\mathrm {m_{1}}$, $\mathrm {m_{2}}$, .....

Teorema VIII. Se agli elementi $\mathrm {a_{i},b_{i},c_{i},\ldots }$ di una linea aggiungiamo gli elementi $\mathrm {a_{j},b_{j},c_{j}} ,\ldots$ di una linea parallela moltiplicati per un numero qualsiasi k (cioè scriviamo $a_{i}+ka_{j},b_{i}+kb_{j},\ldots$ al posto di $a_{i},b_{i},\ldots$, il determinante resta immutato (cioè si muta in un determinante $D'=D$). Infatti $D'$, è (teorema VII) somma del determinante che ha come elementi della linea considerata le $a_{i},b_{i},\ldots$, e dall’altro che in tale linea ha gli elementi $ka_{j},kb_{j},\ldots$. Il primo è lo stesso determinante $D$, il secondo ha proporzionali la riga degli elementi $a_{j},b_{j},\ldots$ e la riga degli elementi $ka_{j},kb_{j},\ldots$, ed è perciò nulla (Corollario α del teorema VI). Donde segue il teorema enunciato.

Teorema IX. Un determinante D di ordine n ha $\mathrm {\lfloor {\underline {n}}}$ termini.

Ciò è evidente per $n=2$; ammesso al solito vero per i determinanti d’ordine $n-1$, si noti che i complementi algebrici degli elementi di $D$ hanno $\lfloor {\underline {n-1}}$ termini. Per ottenere $D$ si deve moltiplicare ognuno degli $n$ elementi di una linea di $D$ per il suo complemento e sommare. Si avranno così $n\lfloor {\underline {n-1}}=\lfloor {\underline {n}}$ termini generalmente distinti.

Il teorema è così provato per induzione completa. (Si noti che per determinanti particolari qualcuno di tali termini può essere nullo, due termini si possono elidere; se un elemento è