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capitolo v — § 20-21

somma di più quantità, qualche termine si può scomporre nella somma di parecchi, eccetera).

Teorema X. Sono poi immediate le seguenti proposizioni:

a) Se tutti gli elementi di una stessa linea sono nulli, il determinante è nullo.

b) Se tutti gli elementi posti da una stessa banda della diagonale principale sono nulli, il determinante si riduce al termine principale.

c) Un determinante di ordine n si può trasformare in un determinante uguale di ordine $\mathrm {n+1}$, premettendo una riga ed una colonna, purchè gli elementi dell’una e dell’altra siano tutti nulli, eccettuato il primo che sia uguale all’unità.

Così, per esempio

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0\\e&a&b\\f&c&d\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&m&n&p\\0&1&0&0\\0&e&a&b\\0&f&c&d\end{vmatrix}}$, eccetera

§ 21. — Altre proprietà di un determinante.

Teorema I Un termine T di un determinante D di ordine n è (a meno del segno) prodotto P di n elementi, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga, nè alla stessa colonna.

Ciò è evidente per $n=2$; come sopra ammettiamo il teorema per determinanti di ordine $n-1$. Un termine $T$ di $D$ è il prodotto di un elemento $a$ di $D$ per un termine $T'$ del complemento algebrico $A$ di $a$. Poichè il teorema è ammesso per i termini $T'$di $A$ (che è un determinante d’ordine $n-1$) e poichè gli elementi di $A$ appartengono a righe e colonne distinte dalle due linee, cui appartiene $a$, il termine $T=aT'$ di $D$ godrà pure delle proprietà enunciate.

Teorema II. Viceversa un prodotto P di n elementi di D, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga nè alla stessa colonna, è, a meno del segno, un termine T di D.

(Dimostrazione analoga alla precedente).

Per quanto riguarda i segni si può poi dimostrare:

Teorema III. Se gli elementi di P si possono portare sulla diagonale principale con k trasposizioni di righe o di colonne, allora $\mathrm {T} =(-1)^{k}\mathrm {P}$, (cioè $T=P$ se $k$ è pari, $T=-P$ se $k$ è dispari).

Per esempio il termine $b_{1}c_{2}a_{3}$ di ${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{2}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=D$ si porta sulla diagonale principale trasponendo, per esempio, dapprima le colonne prima e seconda, e poi le colonne che (dopo la precedente trasposizione) si trovano al 2° e 3° posto. pertanto è $k=2$, e $+b_{1}c_{2}a_{3}$ è perciò un termine $T$ di $D$.

Le trasposizioni con un un termine si porta nella diagonale principale si possono scegliere in modo molteplice; dal teorema III segue però che, se con un metodo occorre un numero, per esempio, pari di trasposizioni, con ogni altro metodo il numero delle trasposizioni necessarie sarà ancora pari.