Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 21

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Altre proprietà di un determinante

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 21. — Altre proprietà di un determinante.

Teorema I Un termine T di un determinante D di ordine n è (a meno del segno) prodotto P di n elementi, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga, nè alla stessa colonna.

Ciò è evidente per $n=2$; come sopra ammettiamo il teorema per determinanti di ordine $n-1$. Un termine $T$ di $D$ è il prodotto di un elemento $a$ di $D$ per un termine $T'$ del complemento algebrico $A$ di $a$. Poichè il teorema è ammesso per i termini $T'$di $A$ (che è un determinante d’ordine $n-1$) e poichè gli elementi di $A$ appartengono a righe e colonne distinte dalle due linee, cui appartiene $a$, il termine $T=aT'$ di $D$ godrà pure delle proprietà enunciate.

Teorema II. Viceversa un prodotto P di n elementi di D, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga nè alla stessa colonna, è, a meno del segno, un termine T di D.

(Dimostrazione analoga alla precedente).

Per quanto riguarda i segni si può poi dimostrare:

Teorema III. Se gli elementi di P si possono portare sulla diagonale principale con k trasposizioni di righe o di colonne, allora $\mathrm {T} =(-1)^{k}\mathrm {P}$, (cioè $T=P$ se $k$ è pari, $T=-P$ se $k$ è dispari).

Per esempio il termine $b_{1}c_{2}a_{3}$ di ${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{2}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=D$ si porta sulla diagonale principale trasponendo, per esempio, dapprima le colonne prima e seconda, e poi le colonne che (dopo la precedente trasposizione) si trovano al 2° e 3° posto. pertanto è $k=2$, e $+b_{1}c_{2}a_{3}$ è perciò un termine $T$ di $D$.

Le trasposizioni con cui un termine si porta nella diagonale principale si possono scegliere in modo molteplice; dal teorema III segue però che, se con un metodo occorre un numero, per esempio, pari di trasposizioni, con ogni altro metodo il numero delle trasposizioni necessarie sarà ancora pari.

Dimostrazione Il teorema è evidente se $k=0$. In tal caso $P$ è proprio il prodotto degli elementi della diagonale principale, che è un termine del determinante (il termine principale).

In ogni altro caso il determinante $D'$ dedotto da $D$ con tali $k$ trasposizioni vale $(-1)^{k}D$ (teorema II del § 20); ogni termine $D'$ vale il corrispondente di $D$ moltiplicato per $(-1)^{k}$.

Ora il prodotto $P$ da noi considerato è il termine principale di $D'$, e perciò $P$ è un termine di $D'$. Dunque $(-1)^{k}P$ è un termine di $D$, come dovevasi dimostrare

Teorema IV. I termini di un determinante D, che hanno come fattori h elementi scelti dalle prime h righe e colonne, hanno per somma il prodotto del minore $\Delta$ formato con tali righe e colonne per il minore complementare $\Delta '$ (formato con le residue righe e colonne).

Per $h=1$ si trova un’immediata conseguenza della definizione di determinante.

Dimostrazione Uno di questi termini $T$ è, a meno del segno, il prodotto $P$ di $h$ elementi, appartenenti a righe e colonne distinte del minore $\Delta$, per $n-h$ elementi appartenenti a righe e colonne distinte di $\Delta '$.

Ora il prodotto $p$ dei primi $h$ elementi vale, a meno del segno, un termine $\tau$ di \math>\Delta</math>; e precisamente $\tau =(-1)^{k}p$, se con $k$ trasposizioni si portano gli $h$ elementi di $p$ sulla diagonale principale di $\Delta$. Il prodotto $p'$ degli altri $n-h$ elementi vale, a meno del segno, un termine $\tau '$ di $\Delta '$; e precisamente $\tau '=(-1)^{l}p'$, se con $l$ trasposizioni si portano tali $n-h$ elementi sulla diagonale principale di $\Delta '$.

Allora evidentemente, facendo tutte le citate $p+l$ trasposizioni, tutti gli $n$ elementi considerati sono portati sulla diagonale principale di $D$. E perciò $\mathrm {T} =(-1)^{k+l}P$. Poichè $P=pp'=(-1)^{k}\tau (-1)^{l}\tau '$, sarà $T=\tau \tau '$. Cioè i termini $T$ considerati sono tutti e soli i prodotti di un termine $\tau$ di $\Delta$ per un termine $\tau '$ di $\Delta '$.

come dovevasi dimostrare

Siano scelte $h$ righe qualunque che abbiano i posti $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{h}$ scritti in ordine crescente. Trasponiamo la riga $r_{1}^{esima}$ con quella di posto $r_{1}-1$, poi con quella di posto $r_{1}-2$, eccetera eccetera, poi con la prima riga; avremo così fatto $r_{1}-1$ trasposizioni: la riga di posto $r$, è andata al primo posto, senza che ne resti turbato l’ordine in cui si seguono le altre righe.

In modo analogo con $r_{2}-2$ trasposizioni porteremo la riga $r_{2}^{esima}$ al secondo posto, eccetera, con $r_{h}-h$ trasposizioni porteremo la riga $r_{h}^{esima}$ al posto $h$, in tutto con $r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{h})-(1+2+\ldots +h)$ trasposizioni avremo portato le nostre $h$ righe ai primi posti senza cambiare nè l’ordine in cui si succedono tali righe, nè l’ordine in cui si succedono le altre $n-h$.

Altrettanto dicasi per $h$ colonne di posti $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{h}$.

In tutto con $(r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{h})+(s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{h})-2(1+2+\ldots +h)$ trasposizioni avremo portato sia le righe che le colonne considerate ai primi $h$ posti senza che sia mutato nè l’ordine in cui si seguono le linee considerate, nè l’ordine in cui si seguono le linee residue. Poichè ogni trasposizione di linee parallele cambia il determinante di segno, e poichè $2(1+2+\ldots +h<)$ è un numero pari, con le trasposizioni citate avremo dedotto dal determinante $D$ un determinante $D'=(-1)^{c}D$ se $C=(r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{h})+(s_{1}+s_{2}+\ldots +s_{h})$. E anzi da ogni termine di $D'$ si deduce il corrispondente di $D_{1}$, moltiplicando per $(-1)^{c}$. Applicando a $D'$ il teorema IV, avremo in conclusione:

Teorema V. Se $\Delta$ è un qualsiasi minore di un determinante D di ordine n, formato con $\mathrm {h<n}$ righe e h colonne di D, e $\Delta '$ è il minore formato con le residue $\mathrm {n-h}$ righe e colonne, il prodotto di $\Delta$, di $\Delta '$ e di $(-1)^{c}$, dove c uguaglia la somma degli indici delle righe e delle colonne di $\Delta$, è uguale alla somma di tutti e solo quei termini di $\Delta$, che contengono come fattori h elementi di $\Delta$. Il prodotto $(-1)^{c}\Delta '$ si chiama complemento di $\Delta$: è facile vedere che $(-1)^{c}\Delta$ è il complemento di $\Delta$.

Così per esempio, nel determinante

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}$

la somma di tutti i termini del suo sviluppo, i quali contengono per fattori due elementi del minore $\Delta ={\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}}$, uguaglia $(-1)^{c}\Delta \Delta '$, dove $c_{2}+3+2+4=11$ (perchè gli indici delle colonne di $\Delta$ sono 2 e 3 e quelli delle righe sono 2 e 4) e dove $\Delta '$ è il ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}\\a_{31}&a_{34}\end{vmatrix}}$ ottenuto da \math>\Delta'</math> sopprimendovi le righe e le colonne che contribuiscono a formare $\Delta$. Si ha poi che $(-1)^{c}\Delta '$ e $(-1)^{c}\Delta$ sono rispettivamente i complementi algebrici di $\Delta$ e di $\Delta '$. Se ne deduce che:

Scelte h linee parallele di D, la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando i minori di ordine h di D, formati con queste h righe, per i minori complementari, uguaglia D.

Basta ricordare che ogni termine $D$ è prodotto di $n$ elementi, $h$ dei quali appartengono alle $h$ linee considerate, ed anzi ad uno solo dei minori di ordine $h$ formati con queste $h$ linee.

Così, per esempio:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{24}\\a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}\\a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}\\a_{31}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}}$

$-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{24}\\a_{41}&a_{44}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{14}\\a_{32}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{41}&a_{43}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{13}&a_{14}\\a_{33}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{41}&a_{42}\end{vmatrix}}$.