Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 16

by Guido Fubini

Capitolo 4 - Polinomii a coefficienti reali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 16. - Polinomii a coefficienti reali.

Supponiamo che i coefficienti $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ del polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}+ax^{x-1}+\ldots +a_{n-1}+a_{n}$

sieno numeri reali. Ciononostante le radici $\alpha$ possono essere numeri complessi (come è ben noto già dalla teoria delle equazioni di secondo grado). Sia $\beta +i\gamma$ una tale radice. Sarà

$P(\beta +i\gamma )=a_{0}(\beta +i\gamma )^{n}+a_{1}(\beta +i\gamma )^{n-1}+\ldots +a_{n}(\beta +i\gamma )+a_{n}=0$.

Il numero complesso coniugato sarà pure nullo.

Tale numero si deduce dal precedente cambiando $i$ in $-i$. Ma questo cambiamento non muta i coefficienti $a_{0},a_{1},\ldots$, che sono reali. Dunque questo numero immaginario coniugato, che è ancora nullo, vale:

$P(\beta -i\gamma )=a_{0}(\beta -i\gamma )^{n}+a_{1}(\beta -i\gamma )^{n-1}+\ldots +a_{n-1}(\beta -i\gamma )+a_{n}=0$.

E questa uguaglianza dimostra che anche $\beta -i\gamma$ è radice dell’equazione $P(x)=0$.

Tra i fattori lineari $x-\alpha$, in cui è decomposto $P(x)$ figurano perciò entrambi i fattori $[x-(\beta +i\gamma )]$ e $[x-(\beta -i\gamma )]$: il cui prodotto è il fattore reale di secondo grado $p_{1}(x)=(x-\beta )^{2}+\gamma ^{2}=x^{2}-2\beta x+(\beta ^{2}+\gamma ^{2})$. E il polinomio $P(x)$ è divisibile per questo fattore. Il quoziente $P_{1}(x)$ sarà ancora polinomio a coefficienti reali. E, se la equazione $P_{1}(x)=0$ possiede qualche radice immaginaria (che sarò pure radice di $P(x)=0$), allora $P_{1}(x)$ sarà ancora divisibile per un polinomio $p_{2}(x)$ di secondo grado a coefficienti reali. Sarà perciò $P_{1}(x)=p_{2}(x)P_{2}(x)$, e quindi $P(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)P_{2}(x)$, dove $P_{2}(x)$ è ancora un polinomio. E così via. Se ne deduce:

Ogni polinomio P(x) a coefficienti reali si può scomporre nel prodotto di polinomii di primo o di secondo grado a coefficienti reali. I fattori di primo grado corrispondono alle radici reali della $\mathrm {P(x)=0}$. I fattori di secondo grado corrispondono alle radici complesse. Anzi ognuno di questi fattori individua una coppia di radici immaginarie coniugate.

Se il polinomio è di grado dispari, evidentemente esso non può essere prodotto di soli fattori di secondo grado. Quindi:

Ogni equazione di grado dispari a coefficienti reali possiede almeno una radice reale.

Sarà bene enunciare esplicitamente la osservazione iniziale:

Se $\mathrm {P(x)=0}$ è un’equazione a coefficienti reali che possiede una radice complessa, essa possiede anche la radice immaginaria coniugata. Essa si può, per quanto abbiamo qui dimostrato, generalizzare così: Se un’equazione P(x) a coefficienti reali possiede r radici complesse uguali a un numero $\mathrm {\alpha +i\beta }$, essa possiede anche r radici uguali al numero complesso coniugato $\mathrm {\alpha -i\beta }$.

In tal caso tra i precedenti fattori ve ne sono $r$ uguali ad $(x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}$.