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polinomii ed equazioni algebriche

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Se $m\geq n$ , $Q$ è un polinomio di grado $m-n$ ; se $m<n$ , allora $Q$ è identicamente nullo ed $R=M$ . In particolare, se $m=n$ , allora $Q$ è di grado nullo, cioè non dipende da $x$ , o, come si suol dire, è una costante.

Viceversa, se per esempio $m\geq n$ , e $Q$ ed $R$ sono due polinomii, che soddisfano identicamente alla precedente uguaglianza, se il grado di $R$ non supera quello di $N$ , allora $Q$ è di grado $m-n$ ed i due polinomii $Q$ ed $R$ sono precisamente il quoziente ed il resto che si ottengono dividendo $M$ per $N$

(Tutti questi risultati sono una facile estensione dei teoremi analoghi per i numeri intieri).

Se $R(x)=0$ , il polinomio $N(x)$ si dice essere un divisore di $M(x)$ . In tale caso, se $k$ è una costante qualsiasi non nulla, anche $kN(x)$ è un divisore di $M$ perchè si ha:

$M(x)=kN(x)\left[{\frac {1}{k}}Q(x)\right]$ .

Ogni polinomio di grado zero si riduce ad una costante $k$ ed è un divisore di $M(x)$ , perchè dividendo $M(x)$ per $k$ si ottiene il quoziente ${\frac {1}{k}}M(x)$ ed un resto nullo. I polinomii di grado zero (le costanti) hanno quindi nell’attuale teoria un ufficio analogo a quello che il numero 1 ha nella teoria dei divisori dei numeri intieri.

Se noi applichiamo gli stessi metodi che si adoprano nella aritmetica e nello studio dei divisori dei numeri intieri troviamo:

Un polinomio che sia divisore comune dei due polinomii M(x) e N(x) è un divisore anche del resto ottenuto dividendo M per N; e viceversa un polinomio che è divisore di questo resto, e divide il polinomio N(x), divide anche l’altro polinomio M(x).

grado di $R(x)$ non superi quello del divisore $N(x)$ . Quest’ultima convenzione è necessaria per rendere univocamente determinato il problema.

Si noti che altre sono le convenzioni dell’aritmetica. Nell’aritmetica dei numeri fratti (come nell’algebra delle frazioni) non si parla di resto (che si suppone nullo). Nell’aritmetica dei numeri interi positivi si rende univocamente determinata la divisione, imponendo al resto di non superare il divisore (così che non si dice mai per esempio che, dividendo 22 per 7, si ha 2 per quoziente, 8 per resto). Così che il risultato ottenuto nella divisione algebrica di due polinomi può contrastare con tale convenzione aritmetica, quando ai coefficienti e alla