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capitolo iv — § 12-13

Dividiamo	$M(x)$	per	il	polinomio	$N(x)$, sia $R(x)$	il	resto	della	div.
”	$N(x)$	”	”	”	$R(x)$, sia $R_{1}(x)$	”	”	” 2a	”
”	$R(x)$	”	”	”	$R_{1}(x)$, sia $R_{2}(x)$	”	”	” 3a	”
”	$R_{1}(x)$	”	”	”	$R_{2}(x)$, sia $R_{3}(x)$	il	resto;

così continuiamo fino a che si trovi un resto nullo; si dimostra (come si dimostra in aritmetica per i numeri intieri) che l’ultimo resto ottenuto differente da zero (lo stesso polinomio $N(x)$ se $R(x)=0$) è un divisore comune di $M(x),N(x)$ ed è anzi il $M.C.D.$¹ di questi polinomii, perchè ogni divisore comune di $M,N$ è un divisore anche di quest’ultimo resto e viceversa.

Se questo massimo comune divisore è di grado zero (è costante), i due polinomi $M,N$ si dicono primi tra loro.

Se si vogliono cercare i divisori $mx+n$ di primo grado di un polinomio $P(x)$, si osserva che, se $\left[x-\left(-{\frac {n}{m}}\right)\right]=x-\alpha \left({\text{essendo}}\,\alpha =-{\frac {n}{m}}\right)$ è un divisore di $P(x)$, anche $mx+n$ è un divisore di $P(x)$ e viceversa.

La ricerca dei divisori di primo grado equivale alla ricerca dei divisori del tipo $x-\alpha$, di cui parleremo nei seguenti paragrafi.

§ 13. - Regola di Ruffini.

Vogliamo dividere il polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}$

per $x-\alpha$. Il quoziente sarà un polinomio

$Q(x)=q_{0}x^{n-1}+qx^{n-2}+\ldots +q_{n-1}$

di grado $n-1$; il resto sarà un polinomio di grado zero, cioè un numero $R$ indipendente da $x.$ Calcoliamo quoziente e resto. Sarà identicamente

$P(x)=(x-\alpha )Q(x)+R$.

Cioè, confrontando i coefficienti delle varie potenze della $x$:

$a_{0}=q_{0};$

$a_{1}=q_{1}-\alpha q_{0};$

$2=q_{2}-\alpha q_{1};$

$\ldots ;$

$a_{n-1}=q{n-1}-\alpha q_{n-2};$

$a_{n}=R-\alpha q_{n-1}.$

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1. Tale massimo comune divisore è determinato a meno di un fattore costante.