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capitolo iv — § 11-12

somma $b_{n-h}$ di tutti i possibili prodotti ad $n-h$ ad $n-h$ delle $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$.

Si avrà così:

$(x+a_{1})(x+a_{2})\ldots (x+a_{n})=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+b_{2}x{n+2}+\ldots$

$+b_{n-1}x+b_{n}$

dove il coefficiente $b_{k}$ di $x^{n-k}(k=1,2,\ldots ,n)$ è la somma degli $\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$ prodotti, che si ottengono moltiplicando a $k$ a $k$ in tutti i modi possibili le $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Se $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=a$, questi prodotti sono tutti uguali ad $a^{k}$. E perciò:

$(x+a)^{n}=x^{n}+{\binom {n}{1}}ax^{n-1}+{\binom {n}{2}}a^{2}x^{n-2}+\ldots +{\binom {n}{n-1}}a^{n-1}x+{\binom {n}{n}}a^{n}$.

Come si riconosce dal teorema di questo § 11 a pagina 43, i coefficienti del 2° membro equidistanti dagli estremi sono uguali tra di loro, ciò che si poteva prevedere a priori, osservando che il 1° e quindi anche il 2° membro non mutano scambiando $x$ con $a$. Se nella formola iniziale poniamo $-a_{i}$ al posto di $a_{i}$ troviamo, indicando ancora con $b_{h}$ la somma degli $\textstyle {\binom {n}{h}}={\binom {n}{n-h}}$ prodotti ad $h$ ad $h$ delle $n$ quantità $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$:

$(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{n})=$

$x^{n}-b_{1}x^{n-1}+b_{2}x^{n-2}+\ldots +(-1)^{h}b_{h}x^{n-h}+\ldots +(-1)^{n}b_{n}$.

§ 12. — Divisione di due polinomii.

Siano $M(x),N(x)$ due polinomii della variabile $x$, i cui gradi sieno rispettivamente $m,n$. Sarà:

$M(x)=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+\ldots +a_{m-1}x+a_{m}$,

$N(x)=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\ldots +b_{n-1}x+b_{n}$,

(dove $a,b$ sono costanti).

Dividendo $M(x)$ per $N(x)$ con le regole dell’algebra elementare si troverà un quoziente $Q(x)$ ed un resto $R(x)$, entrambi polinomii nella $x$.

Il grado di $R(x)$ è inferiore a quello del divisore $N(x)$. E si ha identicamente:

$M(x)=N(x)Q(x)+R(x)$¹.

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1. Il problema di determinare $Q(x)$ ed $R(x)$ è per definizione quello di determinare i due polinomii in guisa che questa uguaglianza di una identità, e che il