Si scriva ciascuno dei due radicandi sotto forma trigonometrica, ponendo:
ρ 2 = q 2 4 + r 2 = − p 3 27 {\displaystyle \rho ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+r^{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}} ,
cos θ = − q 2 ρ {\displaystyle \cos \theta =-{\frac {q}{2\rho }}} ,
sen θ = r ρ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {r}{\rho }}} ;
si avrà:
y = ρ ( cos θ + i sen θ ) 3 + ρ ( cos θ − i sen θ ) 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}}+{\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta -i\operatorname {sen} \theta )}}} .
I tre valori della prima radice cubica sono:
ρ 3 { cos θ 3 + i sen θ 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}} ,
ρ 3 { cos θ + 2 π 3 + i sen θ + 2 π 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}} ,
ρ 3 { cos θ + 4 π 3 + i sen θ + 4 π 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}} .
I tre valori della seconda radice cubica sono:
ρ 3 { cos θ 3 − i sen θ 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}} ,
ρ 3 { cos θ + 2 π 3 − i sen θ + 2 π 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}} ,
ρ 3 { cos θ + 4 π 3 − i sen θ + 4 π 3 } {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}} .
Si osservi che ogni valore di y {\displaystyle y} si ottiene sommando un valore del primo radicale con un valore del secondo, scelti in guisa che il loro prodotto sia reale. Si avranno dunque le tre radici:
y 1 = ρ 3 { ( cos θ 3 + i sen θ 3 ) + ( cos θ 3 − i sen θ 3 ) } = 2 ρ 3 cos θ 3 {\displaystyle y_{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)+\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)\right\}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta }{3}}}
y 2 = 2 ρ 3 cos θ + 2 π 3 {\displaystyle y_{2}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}} ;
y 3 = 2 ρ 3 cos θ + 4 π 3 {\displaystyle y_{3}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}} ,
dove:
ρ 3 = − p 3 = | p | 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\rho }}={\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}} (perchè p {\displaystyle p} dev’essere negativo).
Queste formole si possono dedurre per via elementare.
Infatti, posto z = y 2 ρ 3 = 3 2 y − p {\displaystyle z={\frac {y}{2{\sqrt[{3}]{\rho }}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {y}{\sqrt {-p}}}} , l’equazione diventa:
− 4 2 p − p 3 3 z 3 + 2 p − p 3 z + q = 0 {\displaystyle -4{\frac {2p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}z^{3}+2p{\frac {\sqrt {-p}}{\sqrt {3}}}z+q=0} ossia:
4 z 3 − 3 z − q 3 3 2 p − p = 0 {\displaystyle 4z^{3}-3z-q{\frac {3{\sqrt {3}}}{2p{\sqrt {-p}}}}=0} .