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i numeri complessi

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Estraendo le radici cubiche, si traggono i valori di $u$ , $v$ e si trova:

$y=u+v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$ .

Ciascuna di queste radici cubiche ha tre valori; scelto, per esempio, per la prima uno di essi arbitrariamente tra i tre possibili, il valore da darsi alla seconda radice cubica è completamente determinato da ciò che il prodotto delle due radici cubiche (ossia $uv$ ) deve uguagliare $-{\frac {p}{3}}$ .

Siano $a$ , $b$ due valori dei nostri radicali, il cui prodotto uguaglia $-{\frac {p}{3}}$ . Se $\varepsilon \neq 1$ è una radice cubica di $+1$ , la terza radice cubica di $1$ sarà (come sì è visto al § 9) ${\frac {1}{\varepsilon }}=\varepsilon ^{2}$ . I tre valori del primo radicale saranno: $a$ , $\varepsilon a$ , $\varepsilon ^{2}a$ ; i valori corrispondenti del secondo saranno $b$ , $\varepsilon ^{2}b$ , $\varepsilon b$ , quindi la nostra equazione avrà le tre radici $a+b$ , $\varepsilon a+\varepsilon ^{2}b$ , $\varepsilon ^{2}a+\varepsilon b$ generalmente distinte. Se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=0$ , allora posso supporre chiaramente¹ $a=b$ , e delle tre radici almeno le seconde due sono uguali tra loro.

Siano $p$ , $q$ reali; se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}>0$ posso supporre $a$ , $b$ reali; delle tre radici, una è quindi reale, le altre due immaginarie coniugate. Invece, se ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}<0$ [per il che è necessario che ${\frac {p^{3}}{27}}$ sia minore di $-{\frac {q^{2}}{4}}$ , e quindi che $p$ sia negativo ( $p=-|p|$ )], le radici sono tutte e tre reali, nonostante che ${\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ sia immaginario, come ora proveremo, Posto: