Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 130

by Guido Fubini

Capitolo 20 - Il teorema di Stokes

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 20 - Il teorema di Stokes

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§ 130. — Il teorema di Stokes.

Sia $\sigma$ una superficie sghemba; e ne sia $C$ il contorno (a uno o più pezzi. Supponiamo che un osservatore posto nel semispazio $z>0$, coi piedi sul piano $xy$ e la faccia rivolta verso il semiasse positivo delle $x$, abbia alla propria sinistra il semiasse positivo delle $y$, Fissiamo ad arbitrio il senso positivo per una normale $n$ a $\sigma$, e con la legge di continuità per tutte le altre. Supponiamo che così il verso positivo di ogni normale sia determinato in modo univoco. Percorriamo poi ogni pezzo di $C$ in guisa che il triedro formato dalla tangente $t$ a $C$¹ in un suo punto qualunque $A$ volta nel verso in cui si percorre $C$, la normale $\nu$ a $C$ in $A$ posta nel piano tangente a $\sigma$ in $A$ e volta verso l'interno dell'area $\sigma$, e la normale $n$ a $\sigma$ in $A$ formino un triedro tale che un osservatore, coi piedi sul piano $t\,\nu$ e con la testa dalla stessa parte di $n$ volto verso $t$, abbia alla sua sinistra la direzione $\nu$- Il triedro $t\nu n$ e $xyz$ siano cioè congrui (sovrapponibili). Siano $X,Y,Z$ funzioni finite e continue di $x,y,z$ insieme alle loro derivate in un campo rinchiudente $\sigma$ all'interno. E supponiamo che $\sigma$ sia definita da una equazione $z=z(x,y)$. Sia $\gamma$ la proiezione di $\sigma$ sul piano $xy$, e ne sia $\Gamma$ il contorno. Se la normale $n$ a $\sigma$ fa con l'asse delle $z$ sempre un angolo $nz$ acuto, mentre nel punto $A$ percorre $C$ nel verso sopra definito, la sua proiezione $A'$ sul piano $xy$ descrive $\Gamma$ in guisa che un osservatore posto nel semispazio $z>0$, che cammini in avanti con $A'$, lascia $\gamma$ alla sua sinistra . Eivdentemente:

$\int _{C}X(x,y,z)\,dx=\int _{\Gamma }X[x,y,z(x,Y)]dx=$

                    $=-\iint _{\gamma }{\frac {\partial Xx,y,z(x,y)]}{\partial y}}dx\,dy=$²

                    $=-\iint _{\gamma }\left\{{\frac {\partial X(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial X(x,y,z)}{\partial x}}z'_{y}\right\}dx\,dy=$

                    $=-\iint _{\sigma }\left\{{\frac {\partial X}{\partial y}}\left|{\frac {1}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}\right|+{\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {q}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}}\right\}d\,\sigma$. I coseni di direzione della normale $n$ a $\sigma$ sono:

$\pm {\frac {p}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}},\pm {\frac {q}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}},\mp {\frac {1}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}}.\,(\alpha )$

Ricordando che per l'ipostesi fatta $(zn)<{\frac {\pi }{2}}$, e quindi

${\text{cos}}(nz)=\mp {\frac {1}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}}$

è positivo ,vediamo che nelle $(\alpha )$ si devono assumere i segni inferiori. E quindi la nostra formola diventa:

$\int _{C}X\,dx=\int _{\sigma }\left\{{\frac {\partial X}{\partial z}}\,{\text{cos}}\,(ny)-{\frac {\partial X}{\partial y}}\,{\text{cos}}\,(nz)\right\}d\sigma$.

Questa formola vale anche se ${\widehat {zn}}>{\frac {\pi }{2}}$ , perchè questo caso si riduce al precedente cambiando il verso di $n$. E un tale cambiamento muta il segno dell'integrando del secondo membro, e, mutando il verso in cui si percorre $C$, cambia anche il segno del primo membro. Se poi $\sigma$ fosse decomponibile in pezzi, ognuno dei quali è rappresentato dalla formola $z=z(x,y)$, la nostra formola si estende a tal caso coi metodi usuali.

Una formola analoga vale per $\int \,Y\,dy,\int \,Z,dz$. Sommando le tre formole così ottenute, si trova:

$\int _{C}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)=\int \left\{X_{1}\,{\text{cos}}\,nx+Y_{1}\,{\text{cos}}\,y+Z_{1}\,{\text{cos}}\,nz\right\}d\sigma$

ove:

$X_{1}={\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial y}}$; $Y_{1}={\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}}$; $Z_{1}={\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}$.

Se $Z=0$, e $\sigma$ coincide con la sua proiezione $\gamma$, cosicchè $d\sigma =dx\,dy$, questa formola, scambiando $X$ con $Y$, si riduce alla formola (1) già trovata al § 128.

Se $X,Y,Z$ sono le componenti di un vettore $I$, le $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ si considerino come componenti di una ltro vettore, che si chiama il curl $I$, o rot $I$. L'integrando sel secondo membro della nostra formola si scrive anche (curl $I$)_n, perchè non è che la componente del curl $I$ secondo la normale $n$.

La precedente formola ha il nome di teorema di Stokes.

In molti trattati tutte queste formole sono scritte con segni differenti: ciò dipende dalle differenti convenzioni adottate per i versi di $n,C$, ecc.

Note

1. Supponiamo dunque che esistano $n,y,t$, che le loro dire<ioni variino con continuità.
2. Supponiamo dunque che un piano $x={\text{cost.}}$, o $y={\text{cost.}}incontri<math>C$ in un numero finito di punti.