Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 129

Capitolo 20 - Integrali superficiali

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§ 129. — Integrali superficiali.

Se è una superficie sgemba proiettata biunivocamente sul piano 1, definita cioè da un'equazione , e se è una funzione di si dice integrale di esteso a l'integrale

,

esteso alla proiezione di sul piano . Se poi è somma di più superficie , ciascuna delle quali è rappresentata da una equazione , si dirà integrale di esteso a la somma degli integrali di estesi alla superficie . In altre parole tale integrale è per ogni il valore di quella funzione additiva dei pezzi di , la cui derivata è , se come misura di un pezzo di si assume l'area della sua proiezione sul piano .

Si indicherà (cfr. § 121, pag. 404) poi con l'integrale

;

ivi indica l'angolo che la normale a forma con l'asse delle [cosicchè , dove , [p. 436 modifica]]. Questo integrale si può dunque definire come quella funzione additiva dei pezzi di , di cui è la derivata, quando come misura di un pezzo di si assume porprio la sua area.

Se è un campo a tre dimensioni limitato ad una superficie formata da uno o più pezzi, sceglieremo come direzione positiva della normale a in un punto di quella volta verso l'interno di .

Se sono in funzioni finite e continue di insieme alle , si avrà:

                                              

                                             

      

.

Queste formole si dimostrano in modo simile alle precedenti del § 128.

Se sono le componenti di un vettore , allora è uguale alla sua componente presa secondo la normale a volta verso l'interno di ; la

si chiama la divergenza di e si indica con .

Si ha perciò:

,

che è la celebre formola così detta della divergenza.

Il secondo membro di questa formola fondamentale nelle applicazioni (per es., all'idro- od elettrodinamica) si chiama il flusso di attraverso ; che, nelle trattazioni comuni, si suol rappresentare col numero delle linee di forza attraversanti .

Note

  1. Si suppongono finite e continue tutte le funzioni, che compaiono nei calcolo seguentim salvo esplicita dichiarazione contraria.