Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 129

by Guido Fubini

Capitolo 20 - Integrali superficiali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 20 - Integrali superficiali

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§ 129. — Integrali superficiali.

Se $\sigma$ è una superficie sgemba proiettata biunivocamente sul piano $xy$¹, definita cioè da un'equazione $z=z(x,y)$, e se $X$ è una funzione di $x,y,z$ si dice integrale di $X\,dx\,dy$ esteso a $\sigma$ l'integrale

$\iint X[x,y,z(x,y)]dx,dy$,

esteso alla proiezione $\gamma$ di $\sigma$ sul piano $xy$. Se poi $\sigma$ è somma di più superficie $\sigma _{1},\sigma _{2},.....,\sigma _{n}$, ciascuna delle quali è rappresentata da una equazione $z=z(x,y)$, si dirà integrale di $X,dx,dy$ esteso a $\sigma$ la somma degli integrali di $X\,dx\,dy$ estesi alla superficie $\sigma$. In altre parole tale integrale è per ogni $\sigma _{i}$ il valore di quella funzione additiva dei pezzi di $\sigma _{1}$, la cui derivata è $X$, se come misura di un pezzo di $\sigma _{i}$ si assume l'area della sua proiezione sul piano $xy$.

Si indicherà (cfr. § 121, pag. 404) poi con $\int \,Xd\,\sigma$ l'integrale

$\iint {\frac {X}{|{\text{cos}}\,(nz)|}}\,dx\,dy$;

ivi ${\widehat {nz}}$ indica l'angolo che la normale $n$ a $\sigma$ forma con l'asse delle $z$ [cosicchè $|{\text{cos}}\,(nz)|={\sqrt {\frac {1}{1+p^{2}+q^{2}}}}$, dove $p=z'_{x}$, $q=z'_{y}$]. Questo integrale si può dunque definire come quella funzione additiva dei pezzi di $\sigma$, di cui $X$ è la derivata, quando come misura di un pezzo di $\sigma$ si assume porprio la sua area.

Se $\tau$ è un campo a tre dimensioni limitato ad una superficie $\sigma$ formata da uno o più pezzi, sceglieremo come direzione positiva della normale $n$ a $\sigma$ in un punto di $\sigma$ quella volta verso l'interno di $\tau$.

Se $X,Y,Z$ sono in $\tau$ funzioni finite e continue di $x,y,z$ insieme alle ${\frac {\partial X}{\partial x}},{\frac {\partial Y}{\partial y}},{\frac {Partialz}{\partial z}}$, si avrà:

$\int _{\tau }{\frac {\partial X}{\partial z}}\,d\,\tau =\iiint _{\tau }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz=-\int X\,{\text{cos}}\,nx\,d\,\sigma$

        $\int _{\tau }{\frac {\partial Y}{\partial y}}\,d\,\tau =$                                      $=-\int \,Y\,{\text{cos}}\,ny\,d\,\sigma$

       $\int _{\tau }{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,d\,\tau =$                                      $=-\int \,Z\,{\text{cos}}\,nx\,d\,\sigma$

      $\int _{\tau }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,d\,\tau =$

$\int (X\,{\text{cos}}\,nx+Y\,{\text{cos}}\,ny+Z\,{\text{cos}}\,nz)\,d\,\sigma$.

Queste formole si dimostrano in modo simile alle precedenti del § 128.

Se $X,Y,Z$ sono le componenti di un vettore $I$, allora $X\,{\text{cos}}\,nx+Y{\text{cos}}\,ny+Z\,{\text{cos}}\,nz$ è uguale alla sua componente $I_{n}$ presa secondo la normale $n$ a $\sigma$ volta verso l'interno di $\tau$; la

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$

si chiama la divergenza di $I$ e si indica con ${\text{div}}\,I$.

Si ha perciò:

$\int _{\tau }\,{\text{div}}\,I\,d\,\tau =-\int \,I_{n}\,d\,\sigma$,

che è la celebre formola così detta della divergenza.

Il secondo membro di questa formola fondamentale nelle applicazioni (per es., all'idro- od elettrodinamica) si chiama il flusso di $I$ attraverso $\sigma$; che, nelle trattazioni comuni, si suol rappresentare col numero delle linee di forza attraversanti $\sigma$.

Note

1. Si suppongono finite e continue tutte le funzioni, che compaiono nei calcolo seguentim salvo esplicita dichiarazione contraria.