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capitolo xx — § 130

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I coseni di direzione della normale $n$ a $\sigma$ sono:

$\pm {\frac {p}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}},\pm {\frac {q}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}},\mp {\frac {1}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}}.\,(\alpha )$

Ricordando che per l'ipostesi fatta $(zn)<{\frac {\pi }{2}}$, e quindi

${\text{cos}}(nz)=\mp {\frac {1}{|{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}|}}$

è positivo ,vediamo che nelle $(\alpha )$ si devono assumere i segni inferiori. E quindi la nostra formola diventa:

$\int _{C}X\,dx=\int _{\sigma }\left\{{\frac {\partial X}{\partial z}}\,{\text{cos}}\,(ny)-{\frac {\partial X}{\partial y}}\,{\text{cos}}\,(nz)\right\}d\sigma$.

Questa formola vale anche se ${\widehat {zn}}>{\frac {\pi }{2}}$ , perchè questo caso si riduce al precedente cambiando il verso di $n$. E un tale cambiamento muta il segno dell'integrando del secondo membro, e, mutando il verso in cui si percorre $C$, cambia anche il segno del primo membro. Se poi $\sigma$ fosse decomponibile in pezzi, ognuno dei quali è rappresentato dalla formola $z=z(x,y)$, la nostra formola si estende a tal caso coi metodi usuali.

Una formola analoga vale per $\int \,Y\,dy,\int \,Z,dz$. Sommando le tre formole così ottenute, si trova:

$\int _{C}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)=\int \left\{X_{1}\,{\text{cos}}\,nx+Y_{1}\,{\text{cos}}\,y+Z_{1}\,{\text{cos}}\,nz\right\}d\sigma$

ove:

$X_{1}={\frac {\partial Z}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial y}}$; $Y_{1}={\frac {\partial X}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial x}}$; $Z_{1}={\frac {\partial Y}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial y}}$.

Se $Z=0$, e $\sigma$ coincide con la sua proiezione $\gamma$, cosicchè $d\sigma =dx\,dy$, questa formola, scambiando $X$ con $Y$, si riduce alla formola (1) già trovata al § 128.

Se $X,Y,Z$ sono le componenti di un vettore $I$, le $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ si considerino come componenti di una ltro vettore, che si chiama il curl $I$, o rot $I$. L'integrando sel secondo membro della nostra formola si scrive anche (curl $I$)_n, perchè non è che la componente del curl $I$ secondo la normale $n$.

La precedente formola ha il nome di teorema di Stokes.

In molti trattati tutte queste formole sono scritte con segni differenti: ciò dipende dalle differenti convenzioni adottate per i versi di $n,C$, ecc.