Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 131

Capitolo 20 - Differenziali esatti e potenziale

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§ 131. — Differenziali esatti e potenziale.

Siano tre funzioni finite e continue in un campo a tre dimensioni limitato da una superficie e tale che, se è una qualsiasi linea chiusa tracciata entro , esista almeno una (e quindi infinite) superficie appartenente a , avente per unico contorno, e passante per un punto qualsiasi di . Ciò avviene, p. es., se è un campo sferico, conico, ecc, Resta escluso invece, p. es., che sia un toro di rivoluzione.

Siano due punti qualunque di , che congiungiamo con una linea tracciata entro .

Quando avverrà che

non dipenda dalla particolare linea scelta, ma soltanto dalle e dalla posizione dei punti ? Sia un'altra linea uscente da e terminata a . Dovrà essere, se con indichiamo la percorsa nel verso opposto (da ad )

                                                  

ossia:

.

Ma costituisce in sostanza un'arbitraria linea chiusa appartenente al campo . E quindi, se è una qualunque superficie posta in e terminata a , dovrà essere, con le notazioni del precedente paragrafo,

,

dove è in sostanza una qualunque superficie appartenente al campo . Questa uguaglianza è un'identità soltanto se:

,

ossia se:

(1)

[p. 440 modifica]In tal caso e in tal caso soltanto:

non dipenderà dal cammino seguito per andare da e . Teniamo fisso il punto e facciamo variare in . Per ogni posizione di avremo uno e un solo valore di . Perciò sarà una funzione delle coordinate di nel campo . Come al § 91 a pag. 304 possiamo dimostrare che il differenziale di tale funzione vale proprio , cioè che:

Se il campo soddisfa alle condizioni enunciate, e in esso le soddisfano alle (1), esiste una funzione , le cui derivate parziali del primo ordine sono , ossia che ha per differenziale . Tale funzione è, a meno del segno, il potenziale del vettore che ha per componenti .

Questo teorema ci era già noto (§ 92) in casi particolari.

Nel caso che il campo non soddisfacesse alle condizioni enunciate si potrebbe ancora dimostrare l'esistenza di una tale funzione . Ma una tale funzione uscirebbe dal campo delle funzioni fin qui studiate, perchè in uno stesso punto avrebbe infiniti valori. Un esempio ben noto è quello del potenziale dovuto a una corrente elettrica.

Le precedenti considerazioni si applicano senz'altro anche al caso più semplice dei differenziali , dove soddisfino alla in un'area piana col contorno di un solo pezzo; restano così estesi a tali aree i teoremi della teoria dei differenziali esatti, di cui abbiamo discorso ai §§ 90-91</math>.