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integrali curvilinei e superficialil

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Ossia i coseni di direzione della normale $n$ sono rispettivamente $-{\frac {dy}{ds}},{\frac {dx}{ds}}$. E le nostre formole si possono anche scrivere:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\int _{C}X{\frac {dy}{ds}}ds=-\int X\,{\text{cos}}\,nx\,ds$

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=\int _{C}Y{\frac {dx}{ds}}\,ds=-\int Y\,{\text{cos}}\,ny\,ds$

$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=-\int (X\,{\text{cos}}\,nx+Y\,{\text{cos}}\,ny)\,ds.\,\,\,\,\,$(1)_bis

Il $ds$ che figura nel secondo membro è positivo, cioè $s$ si intende crescente dal limite inferiore al superiore di detto integrale.

§ 129. — Integrali superficiali.

Se $\sigma$ è una superficie sgemba proiettata biunivocamente sul piano $xy$^[1], definita cioè da un'equazione $z=z(x,y)$, e se $X$ è una funzione di $x,y,z$ si dice integrale di $X\,dx\,dy$ esteso a $\sigma$ l'integrale

$\iint X[x,y,z(x,y)]dx,dy$,

esteso alla proiezione $\gamma$ di $\sigma$ sul piano $xy$. Se poi $\sigma$ è somma di più superficie $\sigma _{1},\sigma _{2},.....,\sigma _{n}$, ciascuna delle quali è rappresentata da una equazione $z=z(x,y)$, si dirà integrale di $X,dx,dy$ esteso a $\sigma$ la somma degli integrali di $X\,dx\,dy$ estesi alla superficie $\sigma$. In altre parole tale integrale è per ogni $\sigma _{i}$ il valore di quella funzione additiva dei pezzi di $\sigma _{1}$, la cui derivata è $X$, se come misura di un pezzo di $\sigma _{i}$ si assume l'area della sua proiezione sul piano $xy$.

Si indicherà (cfr. § 121, pag. 404) poi con $\int \,Xd\,\sigma$ l'integrale

$\iint {\frac {X}{|{\text{cos}}\,(nz)|}}\,dx\,dy$;

ivi ${\widehat {nz}}$ indica l'angolo che la normale $n$ a $\sigma$ forma con l'asse delle $z$ [cosicchè $|{\text{cos}}\,(nz)|={\sqrt {\frac {1}{1+p^{2}+q^{2}}}}$, dove $p=z'_{x}$,

1. Si suppongono finite e continue tutte le funzioni, che compaiono nei calcolo seguentim salvo esplicita dichiarazione contraria.