Lezioni di analisi matematica/Capitolo 20/Paragrafo 128

by Guido Fubini

Capitolo 20 - Trasformazione di integrali curvilinei nel piano

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 128. — Trasformazione di integrali curvilinei nel piano¹.

Se abbiamo un campo piano $\gamma$ limitato da un contorno ad uno o più pezzi, si dirà $\int \,Xdx$ esteso al contorno di $\gamma$ la somma degli integrali $\int \,Xdx$ estesi ai singoli pezzi del contorno di $\gamma$, percorsi in guisa che un osservatore, camminando sul lato del foglio volto verso il lettore e percorrendo ogni pezzo di detto contorno nel verso indicato dalla freccia lasci a sinistra l'area $\gamma$.

Fig. 44. E notiamo che un tale osservatore, che volgesse la faccia verso la direzione positiva dell'asse delle $x$, avrebbe pre alla sinistra la direzione positiva dell'asse delle $y$. Se noi tiriamo una tangente $t$ a un pezzo del contorno di $\gamma$ volta in verso concorde a quello in si percorre detto pezzo del contorno, e tiriamo quindi la normale $n$ volta verso l'interno di $\gamma$, il solito osservatore avrà la direzione $n$ a sinistra, se volge la faccia verso la direzione $t$ (fig. 44.)²

Conserveremo sempre le convenzioni qui fatte.

Teorema 1° — Se $\mathrm {\gamma }$ è la somma di due aree $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$, l'integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di $\mathrm {\gamma }$ è uguale alla somma degli integrali $\mathrm {\int \,X\,dx}$ estesi ai contorni di $\mathrm {\gamma ',\gamma ''}$. Infatti siano $C,C',C''$ i contorni di $\gamma ,\gamma ',\gamma ''$. Siano $C'_{1}$ e $C'_{2}$ quei pezzi del contorno $C'$ (fig. 45), i cui punti rispettivamente appartengono e non appartengono al contorno Fig. 45.$C''$ e siano ${C'''}_{1}$ e ${C'''}_{2}$ quei pezzi di $C''$ i cui punti rispettivamente appartengono al controno $C'$.

Sarà: $\int _{C'}\,X\,dx\,=\,\int _{{C'}_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C'}_{2}}\,X\,dx$ $\int _{C'''}\,X\,dx\,=\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx\,+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx$.

Evidentemente $C'_{1}$ e ${C''}_{1}$ sono archi di curve coincidenti, ma percorsi in verso opposto. Quindi:

$\int _{C'_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx=0$,

e perciò dalle precedenti formole si ottiene, sommando:

$\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx=\int _{C}\,X\,dx+\,\int _{C'}\,X\,dx$.

Ma $C'_{2}$ e ${C''}_{2}$ formano complessivamente il contorno $C$ di $\gamma =\gamma '+\gamma ''$, e sono percorsi nello sesso verso, sia come appartenenti al contorno di $\gamma '$ o $\gamma ''$, sia come appartenenti al contorno di $\gamma$. L'ultima equazione dà dunque:

$\int _{C}\,X\,dx=\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx=\,\int _{C'}\,X\,dx+\,\int _{C''}\,X\,dx$.

c.d.d.

Questo teorema si può enuncaire dicendo:

Lo integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di un campo $\mathrm {\gamma }$ è una funzione additiva di $\mathrm {\gamma }$.

Ciò rende intuitivo che in molti casi tale integrale curvilineo si potrà trasformare in un integrale superficiale esteso a $\gamma$.

Ciò appunto è approvato dal seguente teorema, da cui risulta precisamente che la derivata di tale funzione additiva vale comunemente ${\frac {\partial X}{\partial x}}$. Teorema 2°. — Se $\mathrm {\gamma }$ è un'area del piano $\mathrm {xy}$; e $\mathrm {X(x,y)}$ vi è finita e continua insieme alla $\mathrm {\frac {\partial X}{\partial x}}$, e se $\mathrm {C}$ è il contorno di $\mathrm {\gamma }$, allora:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C}\,X\,dy$³.

Supponiamo dapprima che una retta $y=$ cost. incontri $C$ al più in due punti.

Si ha:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy\,\int _{A_{1}}^{A_{2}}\,{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx$,

dove $m,M$ sono il minimo e il massimo di $y$ in $\gamma$, ed $A_{1},A_{2}$ sono i punti ove una retta $y={\text{cost}}.$ (compresa tra le $y=m$ e $y=M$ incontra $C$ (fig. 46).

Fig. 46. Se indichiamo con $X_{2}$ e $X_{1}$ i valori di $X$ in $A_{2},A_{1}$, se ne deduce:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy(X_{2}-X_{1})=\int _{m}^{M}\,X_{2}dy-\int _{m}^{M}\,X_{1}\,dy$.

Ossia, indicando con $C_{1}$ e $C_{2}$ gli archi $HA_{1}K$ e $HA_{2}K$,

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C_{2}}\,X_{2}\,dy-\int _{C_{1}}\,X_{1}\,dy=\int _{{\text{arc}}HA_{2}K}\,X\,dx+\int _{{\text{arc}}KA_{1}H}\,X,dx=\int _{C}=\,X\,dx$.

Se invece $C$ fosse incontrata da qualche parallela all'asse delle $x$ in più di due punti, supponiamo $\gamma$ scomponibile in un numero finito di parti $\gamma _{1},\gamma _{2},.....,\gamma _{n}$, i cui contorni $C_{1},C_{2},.....,C_{n}$ siano incontrati da tali parallele al più di due punti. Per il teorema 1° e per quanto abbiamo ora dimostrato si avrà:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{i=1}^{n}\,\iint _{\gamma _{1}}{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{1}^{n}\int _{C}X\,dy=\int _{C}X\,dy$,

c.d.d.

Teorema 3°. — Se in $\mathrm {\gamma }$ le $\mathrm {Y}$ e $\mathrm {\frac {\partial Y}{\partial y}}$ sono funzioni finite e continue,

$\int _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=-\int _{C}\,Y\,dx$.

Questo teorema si dimostra come sopra: il segno $-$, che qui compare al secondo membro, dipende da ciò che, mentre l'asse positivo delle $y$ è a sinistra dell'asse positivo delle $x$, l'asse positivo delle $x$ è a destra dell'asse positivo delle $y$. L'uguaglianza che si ottiene sommando o sottraendo le formole dei teoremi 2° e 3° si suole scrivere così:

$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\pm {\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)dx\,dy=\int (X\,dy\mp Y\,dx),\,\,\,\,\,$(1)

dove i segni superiori (o inferiori) sono da adottarsi contemporaneamente nei due membri.

Osserviamo che ${\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}$ sono in valore assoluto e in segno i coseni di direzione della tangente $t$ (volta nel verso sopra definito) quando con $s$ si indichi l'arco del contorno di $\gamma$, o di un suo pezzo, crescente nel verso in cui tal pezzo di contorno si deve percorrere. Poichè gli angoli ${\widehat {tn}}$ e ${\widehat {xy}}$ (nelle nostre convenzioni) sono uguali a ${\frac {\pi }{2}}$, sarà:

${\frac {dx}{ds}}={\text{cos}}\,(xt)={\text{cos}}\,(xy+yn+ny)={\text{cos}}\,(yn)$

${\frac {dy}{ds}}={\text{cos}}\,(yt)={\text{cos}}\,(yx+xn+nt)={\text{cos}}\,(xn-\pi )=-{\text{cos}}\,(xn)$.

Ossia i coseni di direzione della normale $n$ sono rispettivamente $-{\frac {dy}{ds}},{\frac {dx}{ds}}$. E le nostre formole si possono anche scrivere:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\int _{C}X{\frac {dy}{ds}}ds=-\int X\,{\text{cos}}\,nx\,ds$

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=\int _{C}Y{\frac {dx}{ds}}\,ds=-\int Y\,{\text{cos}}\,ny\,ds$

$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=-\int (X\,{\text{cos}}\,nx+Y\,{\text{cos}}\,ny)\,ds.\,\,\,\,\,$(1)_bis

Il $ds$ che figura nel secondo membro è positivo, cioè $s$ si intende crescente dal limite inferiore al superiore di detto integrale.

Note

1. I teoremi del § 1228 e seg. sono importanti al tecnico specialmente per le applicazioni alla elettrodinamica, ed anche alla idrodinamica teorica.
2. Al lettore l'enunciato preciso delle condizioni, che si suppongono soddisfatte del contorno. Nel primo campo $\gamma$ della precedente figura, il contorno esterno di $\gamma$ è, si noti, percorso in verso discorde al verso in cui procedono le lancette di un orologio, i contorni interni sono invece percorsi in verso concorde. Qui, si noti, ci riferiamo a campi $\gamma$ limitati. Al lettore l'esame dei campi illimitati.
3. È sempre sottinteso che il campo $\gamma$ e il suo contorno $C$ sieno tali che questi integrali abbiano significato secondo le nostre definizioni.