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capitolo xx — § 129

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$q=z'_{y}$]. Questo integrale si può dunque definire come quella funzione additiva dei pezzi di $\sigma$, di cui $X$ è la derivata, quando come misura di un pezzo di $\sigma$ si assume porprio la sua area.

Se $\tau$ è un campo a tre dimensioni limitato ad una superficie $\sigma$ formata da uno o più pezzi, sceglieremo come direzione positiva della normale $n$ a $\sigma$ in un punto di $\sigma$ quella volta verso l'interno di $\tau$.

Se $X,Y,Z$ sono in $\tau$ funzioni finite e continue di $x,y,z$ insieme alle ${\frac {\partial X}{\partial x}},{\frac {\partial Y}{\partial y}},{\frac {Partialz}{\partial z}}$, si avrà:

$\int _{\tau }{\frac {\partial X}{\partial z}}\,d\,\tau =\iiint _{\tau }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz=-\int X\,{\text{cos}}\,nx\,d\,\sigma$

        $\int _{\tau }{\frac {\partial Y}{\partial y}}\,d\,\tau =$                                      $=-\int \,Y\,{\text{cos}}\,ny\,d\,\sigma$

       $\int _{\tau }{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,d\,\tau =$                                      $=-\int \,Z\,{\text{cos}}\,nx\,d\,\sigma$

      $\int _{\tau }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,d\,\tau =$

$\int (X\,{\text{cos}}\,nx+Y\,{\text{cos}}\,ny+Z\,{\text{cos}}\,nz)\,d\,\sigma$.

Queste formole si dimostrano in modo simile alle precedenti del § 128.

Se $X,Y,Z$ sono le componenti di un vettore $I$, allora $X\,{\text{cos}}\,nx+Y{\text{cos}}\,ny+Z\,{\text{cos}}\,nz$ è uguale alla sua componente $I_{n}$ presa secondo la normale $n$ a $\sigma$ volta verso l'interno di $\tau$; la

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}$

si chiama la divergenza di $I$ e si indica con ${\text{div}}\,I$.

Si ha perciò:

$\int _{\tau }\,{\text{div}}\,I\,d\,\tau =-\int \,I_{n}\,d\,\sigma$,

che è la celebre formola così detta della divergenza.

Il secondo membro di questa formola fondamentale nelle applicazioni (per es., all'idro- od elettrodinamica) si chiama il flusso di $I$ attraverso $\sigma$; che, nelle trattazioni comuni, si suol rappresentare col numero delle linee di forza attraversanti $\sigma$.