Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 95

by Guido Fubini

Capitolo 15 - Illustrazioni varie

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Illustrazioni varie

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§ 95. — Illustrazioni varie.

Abbiamo riconosciuto che la funzione additiva $S(a,b)$, che ha la derivata continua $F(x)$, coincide con$\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo teorema si può illustrare in molti modi:

$\alpha$) Se p. es. $F(x)\geq \,0$, l'area $S(a,b)$ del rettangoloide definito dall'asse delle $x$, dalla curva $y=F(x)$ e dalle rette $x=a,x=b$ è evidentemente funzione additiva dell'intervallo $(a,b)$ (almeno se l'area si considera positiva se $a<b$ e negativa se $a>b$). Tale rettangolide è contenuto nel rettangolo che ha per base l'intervallo $(a,b)$ dell'asse delle $x$ e per altezza il massimo valore $M$ di $F(x)$ in tale intervallo, e contiene il rettangolo di ugual base, avente per altezza il minimo valore $m$ di $F(x)$. Perciò $S(a,b)$ è compreso tra $(b-a)M$ e $(b-a)m$, ed ha quindi $F(x)$ per derivata. Esso vale pertanto $\int _{a}^{b}F(x)dx$. Questo ragionamento è, in altre parole, la ripetizione di considerazioni svolte da noi altrove (pag. 165).

$\beta$) Se $F(x)$ indica la velocitò che un punto mobile $N$ su una retta $r$ ha all'istante $x$, e $\varphi (x)$ indica lo spazio percorso da $N$, o anche la distaza $ON$, che $N$ ha all'istante $x$ da un'origine fissa $O$, si riconosce immediatamente che $\varphi (x)=\int F(x)dx$ e che quindi $\varphi (b)-\varphi (a)$ (spazio percorso dall'stante $a$ all'istante $b$) è la funzione additiva, che ha $F(x)$ per derivata, e perciò vale precisamente l'integrale definito da $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,B)$. Basta osservare che lo spazio percorso $\varphi (b)-\varphi (a)$ gode delle due seguenti proprietà:

1) Se $\alpha$ è un intervallo di tempo, somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, lo spazio percorso in $\alpha$ è uguale alla somma degli spazi percorsi in $\alpha _{1}$ e in $\alpha _{2}$; cioè òo spazio percorso è funzione additiva degli intervalli di tempo.

2) Lo spazio $\varphi (b)-\varphi (a)$ percorso da $N$ nell'intervallo di tempo $(a,b)$ è compreso tra gli spazi, che sarebbero percorsi da $N$, quando esso fosse in tale intervallo dotato sempre della velocità minima $m$ o massima $M$, che raggiunge in tale intervallo, ossia è compreso tra $(b-a)m$ e $(b-a)M$.

$\gamma$) Se $F(x)$ indica il valore della froza agente su un punto $N$ mobile su una retta $r$, quando $N$ dista $x$ dall'origine, e se $F(x)$ è diretto secondo $r$, il lavoro corrispondente al passaggio di $N$ dal punto $x=a$ al punto $x=b$ è l'integrale definito di $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,b)$. Infatti esso gode delle due seguenti proprietà:

1) Se un intervallo $\alpha$ è somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, il lavoro corrispondente all'intervallo $\alpha$ è somma dei lavoro corrispondenti agli intervalli $\alpha _{1},\alpha _{2}$, cioè tale lavoro è funzione additiva degli intervalli $\alpha$.

2) Tale lavoro è compreso tra i valori $(b-a)m$ e $(b-a)M$ corrispondenti al caso che la forza $F(x)$ nell'intervallo $(a,b)$ conservasse costantemente il valore minimo $m$ o massimi $M$m che raggiunge in tale intervallo.

$\delta$) Indichiamo con $\rho ,\theta$ coordinate polari; si voglia calcolare l'area $A$ della figura racchiusa tra i raggi $\theta =a,\theta =b(\leq \,a<b\leq \,2\pi )$ e una curva $\rho =(F\theta )$. È evidente che $A$ è funzione additiva dell'intervallo $(a,b)$. Si osservi che, se $M,m$ sono il massimo e il minimo di $F(\theta )$ nell'intervallo $(a,b)$, la nostra figura comprende all'interno il settore circolare che ha per raggio $m$, che è limitato dalle semirette $\theta =a$ e $\theta =b$, e che quindi ha per area $\pi m^{2}{\frac {(b-a)}{2\pi }}={\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}$. E la nostra figura è compresa nel settore limitato dalle stesse semirette, che per raggio $M$, ed ha quindi per area ${\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}$.

L'area cercata è dunque compresa tra ${\frac {1}{2}}m^{\Delta }\theta$ e ${\frac {1}{2}}M^{\Delta }\theta$, quando si indichi con $\Delta \theta =b-a$ l'incremento ricevuto da $\theta$ nell'intervallo (a, b). E se ne deduce facilmente che l'area $A$ in discorso ha per derivata ${\frac {1}{2}}\rho ^{2}$, ossia che essa è data dalla:

$A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}[F(\theta )]^{d}\theta$

Il lettore dimostri direttamente che ${\frac {dA}{d\theta }}={\frac {1}{2}}[F(\theta )]^{2}$. Si può dedurne poi, p. es., che: se un punto $\mathrm {N}$ si muove in n piano in modo che il raggio $\mathrm {ON}$ descriva un'area $\mathrm {A}$ proporzionale al tempo $\mathrm {t}$ impiegato, allora la forza agente su $\mathrm {n}$ è diretta verso $\mathrm {O}$. (Teorena importante, p. es., per dedurre le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale di Newton).

$x{\frac {dy}{dt}}-y{dx}{dt}=2k$,

donde, derivando:

$x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0$, ossia ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}:{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=x:y$;

che prova il nostro teorema, perchè (come insegna la Meccanica) le componenti della forza agente su $N$ sono proporzionali alle}}

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$.