Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 95

Capitolo 15 - Illustrazioni varie

../Paragrafo 94 ../Paragrafo 96 IncludiIntestazione 2 gennaio 2023 75% Da definire

Capitolo 15 - Paragrafo 94 Capitolo 15 - Paragrafo 96
[p. 311 modifica]

§ 95. — Illustrazioni varie.

Abbiamo riconosciuto che la funzione additiva , che ha la derivata continua , coincide con. Questo teorema si può illustrare in molti modi:

) Se p. es. , l'area del rettangoloide definito dall'asse delle , dalla curva e dalle rette è evidentemente funzione additiva dell'intervallo (almeno se l'area si considera positiva se e negativa se ). Tale rettangolide è contenuto nel rettangolo che ha per base l'intervallo dell'asse delle e per altezza il massimo valore di in tale intervallo, e contiene il rettangolo di ugual base, avente per altezza il minimo valore di . Perciò è compreso tra e , ed ha quindi per derivata. Esso vale pertanto . Questo ragionamento è, in altre parole, la ripetizione di considerazioni svolte da noi altrove (pag. 165).

) Se indica la velocitò che un punto mobile su una retta ha all'istante , e indica lo spazio percorso da , o anche la distaza , che ha all'istante da un'origine fissa , si riconosce immediatamente che e che quindi (spazio percorso dall'stante all'istante ) è la funzione additiva, che ha per derivata, e perciò vale precisamente l'integrale definito da esteso all'intervallo . Basta osservare che lo spazio percorso gode delle due seguenti proprietà:

1) Se è un intervallo di tempo, somma di due intervallini , lo spazio percorso in è uguale alla somma degli spazi percorsi in e in ; cioè òo spazio percorso è funzione additiva degli intervalli di tempo.

2) Lo spazio percorso da nell'intervallo di tempo è compreso tra gli spazi, che sarebbero percorsi [p. 312 modifica]da , quando esso fosse in tale intervallo dotato sempre della velocità minima o massima , che raggiunge in tale intervallo, ossia è compreso tra e .

) Se indica il valore della froza agente su un punto mobile su una retta , quando dista dall'origine, e se è diretto secondo , il lavoro corrispondente al passaggio di dal punto al punto è l'integrale definito di esteso all'intervallo . Infatti esso gode delle due seguenti proprietà:

1) Se un intervallo è somma di due intervallini , il lavoro corrispondente all'intervallo è somma dei lavoro corrispondenti agli intervalli , cioè tale lavoro è funzione additiva degli intervalli .

2) Tale lavoro è compreso tra i valori e corrispondenti al caso che la forza nell'intervallo conservasse costantemente il valore minimo o massimi m che raggiunge in tale intervallo.

) Indichiamo con coordinate polari; si voglia calcolare l'area della figura racchiusa tra i raggi e una curva . È evidente che è funzione additiva dell'intervallo . Si osservi che, se sono il massimo e il minimo di nell'intervallo , la nostra figura comprende all'interno il settore circolare che ha per raggio , che è limitato dalle semirette e , e che quindi ha per area . E la nostra figura è compresa nel settore limitato dalle stesse semirette, che per raggio , ed ha quindi per area .

L'area cercata è dunque compresa tra e , quando si indichi con l'incremento ricevuto da nell'intervallo (a, b). E se ne deduce facilmente che l'area in discorso ha per derivata , ossia che essa è data dalla:

Il lettore dimostri direttamente che . [p. 313 modifica]Si può dedurne poi, p. es., che: se un punto si muove in n piano in modo che il raggio descriva un'area proporzionale al tempo impiegato, allora la forza agente su è diretta verso . (Teorena importante, p. es., per dedurre le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale di Newton).

,

donde, derivando:

, ossia ;

che prova il nostro teorema, perchè (come insegna la Meccanica) le componenti della forza agente su sono proporzionali alle}}

.