Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 94

Capitolo 15 - Funzioni additive d'intervallo e loro derivate

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Capitolo 15 - Funzioni additive d'intervallo e loro derivate
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§ 94. — Funzioni additive d'intervallo e loro derivate.

) Sia una funzione prefissata della in un intervallo . Siano due punti di ; la differenza (incremento) è un numero determinato, quando siano dati i punti o, ciò che è lo stesso, l'intervallo . Prefissata dunque la funzione , noi potremo dire che tale differenza, che indicheremo con è una funzione dell'intervallo 1. Essa gode di una proprietà molto notevole; cioè che, se l'intervallo è somma degli intervalli <ath>(a, b)</math> e . Noi enuncieremo questa proprietà dicendo che è funzione additiva dell'intervallo .

Viceversa sia una funzione dell'intervallo ; sia essa cioè un numero, che ha un valore determinato, appena sia dato l'intervallo di .

Essa goda della proprietà additiva: sia cioè identicamente . Ne seguirà supponendo , che , cioè che una funzione additiva d'intervallo si annulla, se l'intervallo è nullo. E quindi, ponendo poi , e osservando che , ne seguirà:

.

Sia una costante arbitraria; e sia un punto fisso qualsiasi (di ), sia un punto variabile in . Si ponga:

.

[p. 309 modifica]Poichè l'intervallo è somma degl intervalli ed , sarà:

ossia:

.

Ogni funzione additiva di intervallo coincide con l'incremento di una funzizone della variabile .

Data , la ha chiaramente soltanto l'indeterminazione dovuta all'arbitrarietò con cui i può scegliere la costante . Infatti due funzioni che abbiano uguali incrementi nello stesso intervallo, soddisfano per ogni valore di alla:

, ossia:

.

Esse hanno cioè una differenza costante.

In molti problemi si presenta più spontaneo lo studio si una funzione additiva d'intervallo piuttosto che lo studio di una funzione , di cui la rappresenti gli incrementi. Così, p. es., se un punto si muove su una retta e la sua velocità è nota in funzione del tempo, si presenta più spontanea la domanda: Che spazio ha percorso il punto dalle ore alle ore ? piuttosto che l'altra domanda: A che distanza si trova il punto all'ra dall'origine? Infatti questa seconda domanda presuppone la scelta di un elemento sovente estraneo alla questione: l'origine.

Di funzioni additive di intervallo possiamo dare numerosi esempi.

Data una sbarra materiale posta sull'asse delle , il peso di quella sua parte che ha per estremi i punti di ascissa è una funzione additiva di tale parte di sbarra, cioè dell'intervallo . E ciò perchè il peso di un tratto di sbarra somma dei tratti e è evidentemente la somma dei pesi dei tratti parziali e : proprietà che vale, qualunque sia la posizione dei punti , se si conviene di considerare come uguali, e di segno opposto i pesi dei tratti (a, b)</math> e .

Se un punto materiale si muove in un dato campo di forza percorrendo un segmento dall'asse delle , il lavoro compiuto è uuna funzione additiva di . [p. 310 modifica]) Consideriamo ora il caso particolare (che basta ai nostri studii elementari) di una funzione a derivata continua. Il teorema della media dice che

                              ,               (1)

ove è un punto opportunamente scelto interno all'intervallo .

Se dunque tendono ad uno stesso punto , sarà anche , ed, essendo continua, anche . Cioè:

Se l'intervallo tende ad un unico punto , allora il limite di

vale . Perciò:

Se è funzione continua, noi la chiameremo derivata della funzione additiva rispetto all'intervallo . Tale derivata è funzione della sola variabile , e non è più funzione di un intervallo. Evidentemente poi

.

Cioè una funzione additiva conderivata (continua) coincide con l'integrale definito di tale derivata.

Il teorema della media, che abbiamo scritto nella forma (1), si può anche scrivere così:

.

Se ne deduce:

Siano ed il massimo ed il minimo valore nell'intervallo della derivata (continua) della funzione additiva d'intervallo; allora è compreso tra i prodotti di per o per .

Viceversa, se il valore della funzione additiva è compreso tra e , dove sono il massimo e il minimo della funzione continua , allora è la derivata di . [p. 311 modifica]Infatti è in tal caso compreso tra e ; ciò vale , ove è un conveniente prunto sull'intervallo . perciò, se tendono ad , allora tende ad .

Note

  1. Diciamo così per analogia col linguaggio abtuale: si dice che è una funzione di , se è determinato, appena sia nota la .