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capitolo xv — § 95

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da $N$, quando esso fosse in tale intervallo dotato sempre della velocità minima $m$ o massima $M$, che raggiunge in tale intervallo, ossia è compreso tra $(b-a)m$ e $(b-a)M$.

$\gamma$) Se $F(x)$ indica il valore della froza agente su un punto $N$ mobile su una retta $r$, quando $N$ dista $x$ dall'origine, e se $F(x)$ è diretto secondo $r$, il lavoro corrispondente al passaggio di $N$ dal punto $x=a$ al punto $x=b$ è l'integrale definito di $F(x)$ esteso all'intervallo $(a,b)$. Infatti esso gode delle due seguenti proprietà:

1) Se un intervallo $\alpha$ è somma di due intervallini $\alpha _{1},\alpha _{2}$, il lavoro corrispondente all'intervallo $\alpha$ è somma dei lavoro corrispondenti agli intervalli $\alpha _{1},\alpha _{2}$, cioè tale lavoro è funzione additiva degli intervalli $\alpha$.

2) Tale lavoro è compreso tra i valori $(b-a)m$ e $(b-a)M$ corrispondenti al caso che la forza $F(x)$ nell'intervallo $(a,b)$ conservasse costantemente il valore minimo $m$ o massimi $M$m che raggiunge in tale intervallo.

$\delta$) Indichiamo con $\rho ,\theta$ coordinate polari; si voglia calcolare l'area $A$ della figura racchiusa tra i raggi $\theta =a,\theta =b(\leq \,a<b\leq \,2\pi )$ e una curva $\rho =(F\theta )$. È evidente che $A$ è funzione additiva dell'intervallo $(a,b)$. Si osservi che, se $M,m$ sono il massimo e il minimo di $F(\theta )$ nell'intervallo $(a,b)$, la nostra figura comprende all'interno il settore circolare che ha per raggio $m$, che è limitato dalle semirette $\theta =a$ e $\theta =b$, e che quindi ha per area $\pi m^{2}{\frac {(b-a)}{2\pi }}={\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}$. E la nostra figura è compresa nel settore limitato dalle stesse semirette, che per raggio $M$, ed ha quindi per area ${\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}$.

L'area cercata è dunque compresa tra ${\frac {1}{2}}m^{\Delta }\theta$ e ${\frac {1}{2}}M^{\Delta }\theta$, quando si indichi con $\Delta \theta =b-a$ l'incremento ricevuto da $\theta$ nell'intervallo (a, b). E se ne deduce facilmente che l'area $A$ in discorso ha per derivata ${\frac {1}{2}}\rho ^{2}$, ossia che essa è data dalla:

$A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\rho ^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}[F(\theta )]^{d}\theta$

Il lettore dimostri direttamente che ${\frac {dA}{d\theta }}={\frac {1}{2}}[F(\theta )]^{2}$.