<dc:title> Lezioni di analisi matematica </dc:title><dc:creator opt:role="aut">Guido Fubini</dc:creator><dc:date>1920</dc:date><dc:subject></dc:subject><dc:rights>CC BY-SA 3.0</dc:rights><dc:rights>GFDL</dc:rights><dc:relation>Indice:Lezioni di analisi matematica.pdf</dc:relation><dc:identifier>//it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_83&oldid=-</dc:identifier><dc:revisiondatestamp>20230102180558</dc:revisiondatestamp>//it.wikisource.org/w/index.php?title=Lezioni_di_analisi_matematica/Capitolo_13/Paragrafo_83&oldid=-20230102180558
Lezioni di analisi matematica - Capitolo 13 - Derivate delle funzioni di funzioni (Funzioni composte) Guido Fubini1920Lezioni di analisi matematica.pdf
§ 83. — Derivate delle funzioni di funzioni. (Funzioni composte).
)) Sia una funzione di due variabili , le quali sieno funzioni di una variabile . Quando varia in un certo intervallo , i lpunto varii nel campo ove è definita la , cosicchè la sia funzione della nell'intervallo .
Sieno finite e continue, e finite. Quando la riceve un incremento , siano i corrispondenti [p. 276modifica]incrementi delle : e sia il corrispondente incremento della . Sarà per il teorema della media:
}} .
Donde
.
Poichè per ipotesti e esistono e sono finite, è .
Ricordiamo che e sono finite e continue, se ne deduce che esiste, ed è dato dalla:
. (1)
Se si considera come variabile indipendente (§ 53, pag. 177), è:
Cosicchè per (1) come al precedente § 82.
Riconosciamo dunque anche in questo caso più generale (cfr. § 59, pag. 187) che il differenziale primo di una funzione è dato sempre dalla stessa formola, qualunque sia la variabile indipendente.
E si osservi che, se si scrivessero le derivare parziali coi latini, tale formola assumerebbe l'aspetto
()
che taluno potrebbe essere tentato di semplificare, ottenendo l'assunrdo . Le notazioni usate in ) possono perciò portare a gravi errori di calcolo. [p. 277modifica]Si ha pure similmente, ricordando che , sono funzioni di , entrambe funzioni della , che:
,
se le derivate seconde di <math<z</math> sono finite e continue.
In tale ipotesi si deduce, derivando (1), che:
. (2)
) Analogamente, se è funzione delle variabili , tutte funzioni della , e sela stessa si può considerare come funzione della in un certo campo, sarà come ipotesi analoghe:
.
) Sia ora una funzione, p. es., di tre variabili ; e siano funzioni della . Posto , la diventa funzione di , tutte e tre funzioni della . Si ha quindi (poichè e quindi ):
.
Si noti anche qui quale differenza passa tra e . Per ottenere la prima, si deriva considerando e come costanti per ottenere la seconda, si derivi considerando e come funzioni di . Per esempio, se , è .
) Supponiamo funzione delle due variabili definite dalle:
( costanti). [p. 278modifica]Si trovino le derivate di rispetto alla variabile indipendente . Si ha:
;
;
e analoga per ;
.
Una regola mnemonica per ricordare queste formole è di porre
e sviluppando poi con le regole dell'algebra elementare, proprio come se fossero frazioni vere e proprie aventi per numeratore e per denominatore le quantità 1, con l'avvertenza che alla fine del calcolo i simboli , ecc., non si debbono più considerare come prodotti (ciò che non avrebbe senso), ma come uguali rispettivamente alle derivate , ecc. E con le medesime convenzioni si trova:
; ....., .
Esempio.
Sia ,
cosicchè ; si trova:
,
come ci è già noto dal § 60, es. 3°, pag. 189.
Note
↑In tale calcolo, e si debbono considerare ciascuno come un unico simbolo di una quantità, e non già come prodotto di per o per . Così, p. es., si scriverà e non .