Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 83

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Derivate delle funzioni di funzioni (Funzioni composte)

../Paragrafo 82 ../Paragrafo 84 IncludiIntestazione 2 gennaio 2023 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 13 - Derivate delle funzioni di funzioni (Funzioni composte)

◄

Capitolo 13 - Paragrafo 82

Capitolo 13 - Paragrafo 84

►

§ 83. — Derivate delle funzioni di funzioni.
(Funzioni composte).

$\alpha$)) Sia $z$ una funzione $f(x,y)$ di due variabili $x,y$, le quali sieno funzioni di una variabile $t$. Quando $t$ varia in un certo intervallo $\gamma$, i lpunto $(x,y)$ varii nel campo ove è definita la $z$, cosicchè la $z$ sia funzione della $t$ nell'intervallo $\gamma$.

Sieno $f'_{x},f'_{y}$ finite e continue, $x'_{z}$ e $y'_{t}$ finite. Quando la $t$ riceve un incremento $\Delta t$, siano $\Delta x,\Delta y$ i corrispondenti incrementi delle $x,y$: e sia $\Delta z$ il corrispondente incremento della $z$. Sarà per il teorema della media:

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=$

$=\Delta xf'_{x}(x+\theta \Delta x,y)+\Delta yf'_{y}(x+\Delta x,y+\Theta '\Delta y)$

                              $(0<\theta <1$}}          $(0<\theta '<1)$.

Donde

${\frac {\Delta z}{\Delta t}}=f'_{x}(x+\theta \Delta x,y){\frac {\Delta x}{\Delta t}}+f'_{y}(x+\Delta x,y+\theta '\Delta y){\frac {\Delta y}{\Delta t}}$

$\lim _{\Delta t=o}{\frac {\Delta z}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t=0}f'x(x+\Theta \Delta x,y)\lim _{\Delta t=0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}+$

$+\lim _{\Delta t=0}f'_{y}(x+\Delta x,y+\theta '\Delta y)\lim {\frac {\Delta y}{\Delta t}}$.

Poichè per ipotesti $x'_{t}$ e $y'_{t}$ esistono e sono finite, è $\lim _{\Delta t=0}\Delta x=\lim _{\Delta t=0}\Delta y=0$.

Ricordiamo che $f'_{x}$ e $f'_{y}$ sono finite e continue, se ne deduce che $z'_{t}=\lim {\frac {\Delta z}{\Delta t}}$ esiste, ed è dato dalla:

$z'_{t}=z'_{x}x'_{t}+z'_{y}y'_{t}={\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}$. (1)

Se $t$ si considera come variabile indipendente (§ 53, pag. 177), è:

$dz=z'_{t}dt$

$dx=x'_{t}dt$

$dy=y'_{t}dt$

Cosicchè per (1) $dz=z'_{t}dt={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy$ come al precedente § 82.

Riconosciamo dunque anche in questo caso più generale (cfr. § 59, pag. 187) che il differenziale primo di una funzione è dato sempre dalla stessa formola, qualunque sia la variabile indipendente.

E si osservi che, se si scrivessero le derivare parziali coi $d$ latini, tale formola assumerebbe l'aspetto

${\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {dz}{dy}}{\frac {dy}{dt}}$      ($\alpha$)

che taluno potrebbe essere tentato di semplificare, ottenendo l'assunrdo ${\frac {dx}{dt}}={\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}$. Le notazioni usate in $\mathrm {\alpha }$) possono perciò portare a gravi errori di calcolo. Si ha pure similmente, ricordando che $z'_{x}$, $z'_{y}$ sono funzioni di $x,y$, entrambe funzioni della $t$, che:

${\frac {dz'_{x}}{dt}}={\frac {\partial z'_{x}}{\partial x}}x'_{t}+{\frac {\partial z'_{y}}{\partial y}}y't=z''_{xx}x'_{t}+z''_{xy}y'_{t}$,

${\frac {dz'_{y}}{dt}}=z''_{xy}x'_{t}+z''_{yy}y'_{t}$

se le derivate seconde di <math<z</math> sono finite e continue.

In tale ipotesi si deduce, derivando (1), che:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}<}{\partial x\partial y}}{\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\left({\frac {dy}{\partial t}}\right)^{2}+$

$+{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {d^{x}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$. (2)

$\beta$) Analogamente, se $f$ è funzione delle $n$ variabili $x_{1},x_{2},.....x_{n}$, tutte funzioni della $t$, e sela $f$ stessa si può considerare come funzione della $t$ in un certo campo, sarà come ipotesi analoghe:

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}+.....+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}$.

$\gamma$) Sia ora $f$ una funzione, p. es., di tre variabili $x,y,z$; e siano $y,z$ funzioni della $x$. Posto $\xi =x$, la $f$ diventa funzione di $\xi ,y,z$, tutte e tre funzioni della $x$. Si ha quindi (poichè $\xi =x$ e quindi ${\frac {d\xi }{dx}}=1$):

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{x}+{\frac {\partial f}{\partial z}}z'_{x}$.

Si noti anche qui quale differenza passa tra ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {df}{dx}}$. Per ottenere la prima, si deriva considerando $y$ e $z$ come costanti per ottenere la seconda, si derivi considerando $y$ e $z$ come funzioni di $x$. Per esempio, se $f=x+y+z,y={\text{sen}}x,z={\text{cos}}x$, è ${\frac {\partial f}{\partial x}}=1.{\frac {df}{dx}}=1+{\text{cos}}x-{\text{sen}}x$.

$\delta$) Supponiamo $f$ funzione delle due variabili $x,y$ definite dalle:

          $x=a+ht,y=b+kt$                    ($a,b,h,k=$ costanti). Si trovino le derivate di $f$ rispetto alla variabile indipendente $t$. Si ha:

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{t}}=h{\frac {\partial f}{\partial x}}+x{\frac {\partial f}{\partial y}}$;

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {dx}{d\,t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {dy}{dt}}=h{\frac {\partial ^{f}}{\partial x^{2}}}+k{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$;

e analoga per ${\frac {d}{dt}}{\partial f \choose \partial y}$;

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {df}{dt}}\right)=h{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)+k{\frac {d}{dt}}\left({\partial f}{\partial y}\right)=$

$=h\left(h{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\right)+k\left(h{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)=$

$=h^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+2hk{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$.

Una regola mnemonica per ricordare queste formole è di porre

${\frac {d}{dt}}f=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f$

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{2}f=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}f$

e sviluppando poi con le regole dell'algebra elementare, proprio come se ${\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}$ fossero frazioni vere e proprie aventi per numeratore $\partial$ e per denominatore le quantità $\partial x,\partial y$¹, con l'avvertenza che alla fine del calcolo i simboli ${\frac {\partial }{\partial x}}f,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f$, ecc., non si debbono più considerare come prodotti (ciò che non avrebbe senso), ma come uguali rispettivamente alle derivate ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$, ecc. E con le medesime convenzioni si trova:

${\frac {d^{3}f}{dt^{3}}}=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{3}f$; ....., ${\frac {d^{n}f}{dt^{n}}}=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{n}f$.

Esempio.

Sia               $f(x,y)=x^{y},x=\varphi (t),y=\psi (t)$,

cosicchè $f=\varphi (t)^{\psi (t)}$; si trova:

${\frac {d[\varphi (t)^{\psi (t)}]}{dt}}={\frac {df}{dt}}={\frac {d(x^{y})}{dt}}=(x^{y})'_{x}{\frac {dx}{dt}}+(x^{y})'_{y}{\frac {dy}{dt}}=$

$=yx^{y-1}\varphi '(t)+x^{y}\log _{e}x\psi '(t)=\varphi (t)^{\psi (t)}\left\{\psi '(t)\log \varphi (t)+\psi (t){\frac {\varphi '(t)}{\varphi (t)}}\right\}$,

come ci è già noto dal § 60, es. 3°, pag. 189.

Note

1. In tale calcolo, $\partial x$ e $\partial y$ si debbono considerare ciascuno come un unico simbolo di una quantità, e non già come prodotto di $\partial$ per $x$ o per $y$. Così, p. es., si scriverà $\partial x^{2}$ e non $\partial ^{2}x^{2}$.