Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 82

Capitolo 13 - Differenziali

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§ 82. — Differenziali.

Supponiamo che e siano tutte e due continue. Allora sarà:

e                    .

Ponendo:

,

si ha:                  .               (1)

Con le stesse considerazioni si trova che:

, (2)

dove e sono delle quantità che tendono a zero con e .

Dalla formola che esprime il teorema della media, ricordando che a (1) e la (2) si deduce:

]]

     (3)

Questa formola dice che la differenza , incrementato che la funzione subisce nel passare dal punto al punto è la somma di due quantità: la prima: che è nota, la seconda che è una quantità incognita ,infinitesima di ordine [p. 275 modifica]superiore rispetto a , perchè , come sappiamo, tendono a zero per . La prima quantità sarò detta differenziale della funzione e sarà indicata brevemente col simbolo

Possiamo dunque scrivere, quando l'incremento

della funzione si indichi con ,

.

Osserviamo che, se , è , ; e quindi

.

Analogamente il differenziale vale .

Il differenziale della funzione generale sarà dunque

.

Ne risulta confermato che e non sono (almeno secondo le definizioni qui poste)1 quozienti di differenziali, ma veri e proprii simboli.

In modo analogo si pone per una funzione di più variabili la quale possegga derivata prima continue:

.

È evidente che l'analogia di questi ragionamenti e di queste definizioni con le corrispondenti proposizioni relative alle funzioni di una sola variabile. Nel caso attuale si è dovuto soltanto ammettere in più la continuità delle derivate prime della .

Note

  1. Si potrebbero definire i differenziali parziali ; , e interpretare allora e come quozienti, i cui numeratori fossero , e i denominatori . Ma ciò porterebbe soltanto complicazioni.