Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 82

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Differenziali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 82. — Differenziali.

Supponiamo che $f'_{x}$ e $f'_{y}$ siano tutte e due continue. Allora sarà:

$\lim _{h_{0}}f'_{x}(x+\theta h,y)=f'_{x}(x,y)$

e                    $\lim _{h=0}[f'_{x}(x+\theta h,y)-f'_{x}(x,y)]=0$.

Ponendo:

$f'_{x}(x+\theta h,y)-f'_{x}(x,y)=\alpha$,

si ha:                  $f'_{x}(x+\theta h,y)=f'_{x}(x,y)+\alpha$.               (1)

Con le stesse considerazioni si trova che:

$f'_{y}(x+h,y+\theta 'k)=f'_{y}(x,y)+\beta$, (2)

dove $\alpha$ e $\beta$ sono delle quantità che tendono a zero con $h$ e $k$.

Dalla formola che esprime il teorema della media, ricordando che a (1) e la (2) si deduce:

$f(x+h,y+k)-f(x,y)=h[f'_{x}(x,y)+\alpha ]+$

$+k[f'(x,y)+\beta ]=[hf'_{x}(x,y)+kf'_{y}(x,y)]+$]]

$+[\alpha h+\beta k]$     (3)

Questa formola dice che la differenza $f(x+h,y+k)-f(x,y)$, incrementato che la funzione $\mathrm {f}$ subisce nel passare dal punto $\mathrm {A=(x,y)}$ al punto $\mathrm {B=(x+h,y+k)}$ è la somma di due quantità: la prima: $hf'_{x}+kf'_{y}$ che è nota, la seconda $\alpha h+\beta k$ che è una quantità incognita ,infinitesima di ordine superiore rispetto a ${\sqrt {h^{2}+k^{2}}}$, perchè $\alpha ,\beta$, come sappiamo, tendono a zero per $h=0,k=0$. La prima quantità $kf'_{x}+kf'_{y}$ sarò detta differenziale della funzione e sarà indicata brevemente col simbolo $df$

Possiamo dunque scrivere, quando l'incremento

$f(x+h,y+k)-f(x,y)$

della funzione si indichi con $\Delta f$,

$\Delta f=df+(\alpha h+\beta k)$.

Osserviamo che, se $f(x,y)=x$, è $f'_{x}=1$, $f'_{y}=0$; e quindi

$dx=h.1+k.0=h$.

Analogamente il differenziale $dy$ vale $k$.

Il differenziale della funzione generale $f/x,y)$ sarà dunque

$df=f'_{x}dx+f'_{y}dy={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$.

Ne risulta confermato che ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ non sono (almeno secondo le definizioni qui poste)¹ quozienti di differenziali, ma veri e proprii simboli.

In modo analogo si pone per una funzione di più variabili $f(x,y,.....,z,t)$ la quale possegga derivata prima continue:

$df=f'_{x}dx+f'_{y}dy+.....+f'_{z}dx+f'_{t}dt$.

È evidente che l'analogia di questi ragionamenti e di queste definizioni con le corrispondenti proposizioni relative alle funzioni di una sola variabile. Nel caso attuale si è dovuto soltanto ammettere in più la continuità delle derivate prime della $f$.

Note

1. Si potrebbero definire i differenziali parziali $\partial _{x}f=f'_{x}dx$; $\partial _{y}f=f'_{y}dy$, e interpretare allora ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ come quozienti, i cui numeratori fossero $\partial _{x}f,\partial _{y}f$, e i denominatori $dx,dy$. Ma ciò porterebbe soltanto complicazioni.