Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 84

Capitolo 13 - Funzioni implicite

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§ 84. — Funzioni implicite.

) Si abbia l'equazione:

                                                                           (1)

Se si può trovare una funzione della , che, sostituita in (1) al posto della , la soddisfi identicamente, noi diciamo che, essa è una funzione della definita in modo implicito, o più brevemente una funzione implicita della . Se si riesce a risolvere la (1) rispetto alla , si ottiene così la come funzione esplicita della .

Così, p. es., l'equazione (di un cerchio riferito a due diametri ortogonali scelti come assi) definisce in forma implicita due funzioni della (), le quali sotto forma esplicita si scrivono: . La teoria della funzione che soddisfa alla , cioè la teoria della funzione inversa (§ 58, pag. 183) della è un caso particolare dello studio attuale.

La definizione testè posta si può estendere a casi più generali. Così, se, p. es., esiste una funzione che sostituita al posto della nella

[].

vi soddisfi identicamente, noi diciamo che la è una funzione definita in modo implicito dalla precedente equazione.

Se, p. es., esistono due funzioni e che, sostituite nelle

     ,          ,

vi soddisfano identicamente, no idiciamo che le sono funzioni delle definite in modo implicito dal precedente sistema di equazioni. E si potrebbero in modo simile studiare sistemi formati da più che due equazioni.

) Sia data l'equazione                                                                      (1)

Supponiamo:

1° L'equazione è soddisfatta ponendo, .

2° per ed (h, k</math> costanti) la esiste e possiede derivate prima finite continue.

3° La ha un valore differente da zero nel punto . [p. 280 modifica]E ci proponiamo dapprima il problema:

Esiste una funzione continua della in un intorno abbastanza piccolo del punto la quale abbia il valore quando e soddisfi all'equazione ? E come si può calcolare tale funzione in modo esplicito, risolvendo così la ?

Noi risponderemo a tali domande con un metodo di approssimazione successiva (detto anche di falsa posizione). E trattiamo questo problema appunto per dare un esempio concreto di tale metodo, che nei casi pratici costituisce il più usato ed il più potente strumento per risolvere equazioni complicate o per problemi di analoga natura.

Sia nel punto per ipotesi.

Poniamo .

Ricordando che è , troviamo che:

Per è .

La nostra equazione diventa: , donde (poichè ) si trae:

che scriveremo:

(2)                .

Dalle nostre ipotesi segue:

1° Per sono nulle la e le sue derivate prime.

2° per la esiste, possiede derivate prime finite e continue.

Noi sappiamo che , per . Un primo valore approssimato della funzione cercata ci è dato dall'ipotesi che sia anche quando . Questo valore sarebbe proprio la funzione cercata, soltanto se, sostituendo al posto di in (2), la (2) risultasse verificata; cioè se, sostituendo al posto di nel secondo membro di (2), si ottenesse come risultato propprio . Ciò non avverrà certamente in generale. E il risultato, che indicheremo con , ottenuto sostituendo al posto di nel secondo membro (2), sarà considerato come un secondo valore approssimato della funzione cercata . E sarà proprio il valore della funzione cercata soltanto se, sostituendo al posto di nella (2), la (2) risulta soddisfatta, ossia se, ostituendo al posto di nel secondo membro di (2) si ottiene come risultato proprio . Ma questo non avverrà generalmente; e noi assumeremo come terzo valore approssimato della funzione che si cerca precisamente il risultato , che si ottiene sostituendo al posto di nel secondo membo di (2). Così continuando, troviamo i sucessivi approssimati;

     (3)                         ( intero positivo).

Ora ci domandiamo: quando è abbastanza grande, rappresenta effettivamente la così definita il valore approssimato di una soluzione dell'equazione almeno in un certo intorno del punto ? In altre parole ci chiediamo: Esiste, almeno in un intorno del punto , il ? E questo limite è una funzione della che soddisfi alle imposte condizioni e in particolare risolva la ? [p. 281 modifica]Noi risponderemo affermativamente a queste domande: ciò che basta per la parte teorica di simile studio. nei casi pratici bisognerò di più, se si vogliono evitare troppo lunghi calcolo numerici, che sia già piccolo, quando non è molto grande, ossia che le tendano abbastanza rapidamente al loro limite .

E cominciano anzitutto ad osservare che, affinchè sia lecito scrivere le (3) bisogna che siano espressioni non prive di significato, ossia che i punti appartengono al campo ove è definita la , che sia cioè:

.

Osserviamo, che essendo per , noi potremo, per la supposta continuità di queste funzioni ,scegliere due numeri così piccoli che per il massimo di sia minore di , e impiccolire poi il numero in guisa che il massimo di soddisfi alla . Sarà cioè, riassumendo:

(4)     

Indicheremo con il campo definito dalle . DImostreremo che, se tutti i punti appartengono a . Intanto dalle (4) segue ; cosicchè il punto appartiene certo a ; dimostreremo che altrettanto avviene del punto . Usando il metodo di induzione completa, basterà dimostrare che appartiene a , supponendo già dimostrato che i precedenti punti per appartengono a .

In tal caso dalle (3) segue:                

che per il teorema della media è il valore assoluto del prodotto di per un valore intermedio di . Questo valore intermedio, per le (4), non supera , cosicchè .

Ed essendo , se ne deduce successivamente , in generale

(5)                         .

Ora:

(6)          

donde:

(7)

.


Da qui segue tosto che anche appart'ene a . Per dimostrare che esiste ed è finito , basterà per la (6) provare che esiste ed è finita la somma della serie

(8)          

Ciò che è evidente, perchè questa serie è totalmente convergente per , poichè da (5) segue che i valori assoluti dei suoi termini sono (a partire dal secondo) ordinatamente minori dei termini della serie

che è una progressione geometrica decrescente (si ricordi che ) a termini costanti. [p. 282 modifica]Anzi, poichè è la somma di (8), ne segue che:

,

cosicchè anche il punto appartiene a . E, poichè la (8) ha termini che per sono funzioni continue, anche la , che ne è la somma, è una funzione continua della per .

Ricordando che è funzione continua di , si ha poi, passando al limite per nell'ultima delle (3):

, ossia

, ossia


Alle domande da noi poste in principio del capoverso si deve comunque rispondere affermativamente. È bene evidente che per . Dalle (3) si deduce subito infatti (ricordando che ): per . Quindi anche per 1.

Ora dimostreremo che in un intorno abbastanza piccolo di non esiste altra funzione continua della , che per , si riduca ad , la quale soddisfi alla . Se infatti vi fosse un'altra tale funzione, e noi la indicassimo con , sarebbe

che è uguale a moltiplicando per un valore intermedio di .

Ora in un intorno abbastanza piccolo di e la differiscono da per meno di ; e un tale valore intermedio non supera quindi ; cosicchè . Sarà pure , ecc.; e se ne deduce . Poichè , se ne deduce, passando al limite per , che , ossia che c. d. d. 2.

Vogliamo provare l'esistenza di per , e calcolare tale derivata. È , E sia l'incremento che riceve la , quando la riceve l'incremento . Sarà ; e quindi anche, sottraendo,

,

[p. 283 modifica]ossia, per il teorema della media:

3.

Poichè è funzione continua della , è . Dividendo la precedente formola per , e passando al limite per , ossia , si trova:

.

Poichè il limite del primo addendo esiste ed è finito (è uguale a , il cui denominatore è per ipotesi differente da zero, sarà

.

formola che ora ritroveremo per altra via, ammettendo a priori l'esistenza di e di .

Oss.Tutti questi risultati potrebbero essere falsi, se .

Così, p. es. si osservi che l'equazione , pure essendo soddisfatta per , non ammette soluzioni reali per . E si noti che è appunto per . Così pure l'equazione è soddisfatta per ; ed esistono due (non una) funzioni , continue e nulle per che ad essa soddisfano. E di nuovo si verifica che per .

Infine si noti che l'ultima formola si scrive di solito

(9)                              

perchè essa ci dà il valore di non nel solo punto , ma in tutti i punti di un suo intorno, che soddisfano alla .

) Se noi ammettiamo l'esistenza e la derivabilità della funzione delle che soddisfa alla , possiamo in altro modo più semplice determinare la derivata .

Ponendo in , si ottiene una funzione identicamente nulla della sola (cioè nulla per ogni valore della ).

[Si noti che invece la non è identicamente nulla per tutti i valori delle . Altrimenti sarebbe, contro l'ipotesi fatta, non solo , ma anche ]. [p. 284 modifica]Quindi sarà pure identicamente nulla per la derivata prima della .

Sarà cioè per il teorema del § 83, :

.

Se ne deduce (supposto ).

Questa formola non è la (9) scritta più sopra: essa (se ) permette di esprimere per mezzo delle , senza che vi sia bisogno di dare proprio sotto forma di funzione esplicita della .

Analogamente la si calcolerebbe dalla (cfr. la (2) del § 83, , pag. 277, ove si ponga )

se le derivate seconde di sono finite e continue. (È facile verificare che in tal caso esiste, e che quindi si può scrivere la formola precedente.

) Sia p. es., da trovare l'equazione della tangente nel punto della ellisse o iperbole . Questa equazione sarà:

,

dove con indico il valore di nel punto . Si voglia calcolare tale valore della derivata senza risolvere l'equazione della curva. Dalla (9) si ottiene tosto:

.

Cosicchè l'equazione della tangente è:

, ossia:

,

perchè il punto appartiene alla nostra curva. [p. 285 modifica]In generale l'equazione della tangente alla curva nel suo punto è nelle nostre ipotesi:

,

ossia per la (9)

, (10)

dove con indico i valori delle nel punto .

Così, p. es., per la conica di equazione

l'equazione della tangente nel punto vale

.

Ricordando che appartiene a , e che perciò

.

Il primo membro evidentemente è una funzione simmetrica nelle ed , cioè non muta scambiando con . È questa l'osservazione più semplice, da cui possa dedursi il principio delle polari reciproche.

Note

  1. Se si volesse soltanto dimostrare l'esistenza della funzione della , senza insegnare a calcolarla, si potrebbe procedere così. Essendo per la curva tracciata nel piano , che incontra l'asse delle nel punto , attraversa in tale punto tale asse, cosicchè e sono di segno contrario, se è abbastanza piccolo. Quindi, se è avvastanza prossimo ad , anche e sono di segno opposto; ed esiste perciò un punto compreso tra e tale che . Esiste perciò un tale valore di per ogni valore di abbastanza prossimo ad .
  2. Si potrebbe dimostrare questa asserzione anche così. Se , per il teorema della media è , dove con indico un valore intermedio di . Se se ne deduce che questo valore intermedio è nullo. Ciò che è assurdo, perchè per abbastanza prossimo a , le e le sono prossime ad e (poichè , ed è continua) la è differente da zero in tutto un intorno del punto .
  3. Da questa formola si potrebbe dedurre in altro modo che la è funzione continua della , p. es. nel punto ossia che . Infatti, essendo continuo e quindi inferiore in valore assoluto ad una costante finita, è

    .

    Dalla formola precedente segue che anche il . Poichè il limite del secondo fattore è differente da zero, sarà c.d.d.