Lezioni di analisi matematica/Capitolo 13/Paragrafo 84

by Guido Fubini

Capitolo 13 - Funzioni implicite

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 84. — Funzioni implicite.

$\alpha$) Si abbia l'equazione:

                         $f(x,y)=0$                                                  (1)

Se si può trovare una funzione $y=\varphi (x)$ della $x$, che, sostituita in (1) al posto della $y$, la soddisfi identicamente, noi diciamo che, essa è una funzione della $x$ definita in modo implicito, o più brevemente una funzione implicita della $x$. Se si riesce a risolvere la (1) rispetto alla $y$, si ottiene così la $y$ come funzione esplicita della $x$.

Così, p. es., l'equazione (di un cerchio riferito a due diametri ortogonali scelti come assi) $x^{2}+y^{2}-1=0$ definisce in forma implicita due funzioni $y$ della $x$ ($-1\leq \,x\leq \,1$), le quali sotto forma esplicita si scrivono: $y=+{\sqrt {1-x^{2}}},y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$. La teoria della funzione $y=f(x)$ che soddisfa alla $x-\varphi (y)=0$, cioè la teoria della funzione inversa (§ 58, pag. 183) della $x=\varphi (y)$ è un caso particolare dello studio attuale.

La definizione testè posta si può estendere a casi più generali. Così, se, p. es., esiste una funzione $y=\varphi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})$ che sostituita al posto della $y$ nella

$f(x_{1},x_{2}.....,x_{n},y)=0$

[$f={\text{funzione di}}\,x_{1},x_{2}.....,x_{n},y$].

vi soddisfi identicamente, noi diciamo che la $y=\varphi$ è una funzione definita in modo implicito dalla precedente equazione.

Se, p. es., esistono due funzioni $y=\varphi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})$ e $z=\psi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})$ che, sostituite nelle

     $f(x_{1},x_{2},.....,x_{n},y,z)=0$,          $F(x_{1},x_{2},......x_{n},y,z)=0$,

vi soddisfano identicamente, no idiciamo che le $y,z$ sono funzioni delle $x_{1},x_{2},....,x_{n}$ definite in modo implicito dal precedente sistema di equazioni. E si potrebbero in modo simile studiare sistemi formati da più che due equazioni.

$\beta$) Sia data l'equazione                                                                      (1)

$f(x,y)=0$

Supponiamo:

1° L'equazione è soddisfatta ponendo, $x=x_{o},y=y_{0}(x_{o},y_{o}={\text{cost.}})$.

2° per $|x-x_{0}|\leq \ h$ ed $|y-y_{0}|\leq \,k$ (h, k</math> costanti) la $f(x,y)$ esiste e possiede derivate prima finite continue.

3° La ${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y)}}$ ha un valore $b$ differente da zero nel punto $x=x_{o},y=y_{0}$. E ci proponiamo dapprima il problema:

Esiste una funzione continua della $\mathrm {x}$ in un intorno abbastanza piccolo del punto $\mathrm {x_{n}}$ la quale abbia il valore $\mathrm {y_{0}}$ quando $\mathrm {x=x_{0}}$ e soddisfi all'equazione $\mathrm {(1)} z$? E come si può calcolare tale funzione in modo esplicito, risolvendo così la $\mathrm {(1)}$?

Noi risponderemo a tali domande con un metodo di approssimazione successiva (detto anche di falsa posizione). E trattiamo questo problema appunto per dare un esempio concreto di tale metodo, che nei casi pratici costituisce il più usato ed il più potente strumento per risolvere equazioni complicate o per problemi di analoga natura.

Sia ${\frac {\partial f}{\partial x}}=a,{\frac {\partial f}{\partial y}}=b$ nel punto $(x_{0},y_{0})$.È $b\not =0$ per ipotesi.

Poniamo $f(x,y)-[a(x-x_{0})+b(y-y_{0})]=\varphi (x,y)$.

Ricordando che è $f(x_{0},y_{0})=0$, troviamo che:

Per $x=x_{0},y=y_{0}$ è $\varphi (x,y)=0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$.

La nostra equazione diventa: $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+\varphi (x,y)=0$, donde (poichè $b\not =0$) si trae:

$y-y_{0}=-{\frac {a}{b}}(x-x_{0})-{\frac {1}{b}}\varphi (x,y)$ che scriveremo:

(2)     $y-y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y)$           $\left(-{\frac {a}{b}}=c,{\frac {\varphi }{b}}=\psi \right)$.

Dalle nostre ipotesi segue:

1° Per $x=x_{0},y=y_{0}$ sono nulle la $\psi$ e le sue derivate prime.

2° per $|x-x_{0}|\leq \,h,|y-y_{0}|\leq k$ la $\psi$ esiste, possiede derivate prime finite e continue.

Noi sappiamo che $y=y_{0}$, per $x=x_{0}$. Un primo valore approssimato della funzione $y$ cercata ci è dato dall'ipotesi che sia $y=y_{0}$ anche quando $x\not =x_{0}$. Questo valore $y=y_{0}$ sarebbe proprio la funzione cercata, soltanto se, sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ in (2), la (2) risultasse verificata; cioè se, sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ nel secondo membro di (2), si ottenesse come risultato propprio $y_{0}$. Ciò non avverrà certamente in generale. E il risultato, che indicheremo con $y_{1}$, ottenuto sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ nel secondo membro (2), sarà considerato come un secondo valore approssimato della funzione cercata $y$. E $y_{1}$ sarà proprio il valore della funzione cercata $y$ soltanto se, sostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nella (2), la (2) risulta soddisfatta, ossia se, ostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nel secondo membro di (2) si ottiene come risultato proprio $y_{1}$. Ma questo non avverrà generalmente; e noi assumeremo come terzo valore approssimato della funzione $y$ che si cerca precisamente il risultato $y_{3}$, che si ottiene sostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nel secondo membo di (2). Così continuando, troviamo i sucessivi approssimati;

     (3)               $\left\{{\begin{matrix}y_{0}=y_{0}\\y_{1}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{0})\\y_{0}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{1})\\.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\\y_{n-1}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{n-2})\\y_{n}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{n-1})\end{matrix}}\right.$          ($n$ intero positivo).

Ora ci domandiamo: quando $\mathrm {n}$ è abbastanza grande, rappresenta effettivamente la $\mathrm {y_{n}}$ così definita il valore approssimato di una soluzione dell'equazione $\mathrm {(1)}$ almeno in un certo intorno del punto $\mathrm {x=x_{0}}$? In altre parole ci chiediamo: Esiste, almeno in un intorno del punto $\mathrm {x=x_{0}}$, il $\lim _{n=\infty }\mathrm {y_{n}}$? E questo limite è una funzione $\mathrm {y}$ della $\mathrm {x}$ che soddisfi alle imposte condizioni e in particolare risolva la $\mathrm {(1)}$? Noi risponderemo affermativamente a queste domande: ciò che basta per la parte teorica di simile studio. nei casi pratici bisognerò di più, se si vogliono evitare troppo lunghi calcolo numerici, che $|y_{n}-y|$ sia già piccolo, quando $n$ non è molto grande, ossia che le $y_{n}$ tendano abbastanza rapidamente al loro limite $y$.

E cominciano anzitutto ad osservare che, affinchè sia lecito scrivere le (3) bisogna che $\psi (x,y_{1}),\psi (x,y_{2}),.....,\psi (x,y_{n}),.....$ siano espressioni non prive di significato, ossia che i punti $(x,y_{1})(x,y_{2}),.....(x,y_{n}).....$ appartengono al campo ove è definita la $\psi$, che sia cioè:

$|x-x_{0}|\leq h,|y_{i}-y_{0}|\leq k,|y_{2}-y_{0}|\leq k,.....,|y_{n}-y_{0}|\leq k$.

Osserviamo, che essendo $\psi (x,y)=0,\psi '_{n}(x,y)=0$ per $x=x_{0},y=y_{0}$, noi potremo, per la supposta continuità di queste funzioni ,scegliere due numeri $h_{1}\leq h,k_{1}\leq k$ così piccoli che per $|x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}$ il massimo $H$ di $|\psi '(x,y)|$ sia minore di $1$, e impiccolire poi il numero $h_{1}$ in guisa che il massimo $M$ di $|y_{1}-y_{0}|=|c(x-x_{0}=+\psi (x,y_{0})|$ soddisfi alla $M{\frac {1}{1-H}}\leq k_{1}$. Sarà cioè, riassumendo:

(4)     $\left\{{\begin{matrix}{\text{(per}}|x-x_{0}|\leq k_{1}\leq h{\text{;}}|y-y_{0}|\leq k_{1}\leq k{\text{),}}\\{\text{massimo di}}|\psi '_{y}(x,y)=H{\text{, massimo di}}|y_{1}-y_{0}|=M\\H<1,M{\frac {1}{1-H}}\leq k_{1}{\text{, e quindi}}\,afortiori\mathrm {\,} M\leq k\end{matrix}}\right.$

Indicheremo con $\delta$ il campo definito dalle $|x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}$. DImostreremo che, se $|x-x_{0}|\leq h_{1}$ tutti i punti $(x,y_{1}),(x,y_{2}),.....,(x,y_{n}),.....$ appartengono a $\delta$. Intanto dalle (4) segue $|y_{1}-y_{0}|\leq M\leq k$; cosicchè il punto $(x,y_{1})$ appartiene certo a $\delta$; dimostreremo che altrettanto avviene del punto $(x,y_{n})$. Usando il metodo di induzione completa, basterà dimostrare che $(x,y_{n})$ appartiene a $\delta$, supponendo già dimostrato che i precedenti punti $(x,y_{m})$ per $1\leq m\leq n-1$ appartengono a $\delta$.

In tal caso dalle (3) segue:                $|y_{m}-y_{m-1}|=|\psi (x,y_{m-1})-\psi (x,y_{m-2})|{spazi|15}<math>(2\leq m\leq n)$

che per il teorema della media è il valore assoluto del prodotto di $(y_{m-1}-y_{m-2}$ per un valore intermedio di $\psi '_{n}(x,y)$. Questo valore intermedio, per le (4), non supera $H$, cosicchè $|y_{m}-y_{m-1}\leq H|y_{m-1}-y_{m-2}|$.

Ed essendo $|y_{1}-y_{0}|\leq M$, se ne deduce successivamente $|y_{2}-h_{1}|\leq HM,|y_{2}-y_{2}|\leq H|y_{2}-y_{1}|\leq H^{2}M$, in generale

(5)               $|y_{m}-y_{m-1}\leq H^{m-1}M$          $(1\leq m\leq n)$.

Ora:

(6)          $y_{n}=y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})$

donde:

(7) $|y_{n}-y_{0}|\leq M+HM+H^{2}M+...+H^{n-1}M=M(1+H+...+H^{n-1})=$

$=M{\frac {1-H^{n}}{1-H}}<{\frac {M}{1-H}}\leq k_{1}$.

Da qui segue tosto che anche $(x,y_{n})$ appart'ene a $\delta$. Per dimostrare che esiste ed è finito $y=\lim _{n=\infty }y_{n}$, basterà per la (6) provare che esiste ed è finita la somma $y$ della serie

(8)          $y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})+.....$

Ciò che è evidente, perchè questa serie è totalmente convergente per $|x-x_{0}|\leq h_{1}$, poichè da (5) segue che i valori assoluti dei suoi termini sono (a partire dal secondo) ordinatamente minori dei termini della serie

$M+MH+MH^{2}+.....$

che è una progressione geometrica decrescente (si ricordi che $H<1$) a termini costanti. Anzi, poichè $y$ è la somma di (8), ne segue che:

$|y-y_{0}|<M+MH+MH^{2}+.....={\frac {M}{1-H}}\leq k_{1}$,

cosicchè anche il punto $\mathrm {(x,y)}$ appartiene a $\mathrm {\delta }$. E, poichè la (8) ha termini che per $|x-x_{0}|\leq h_{1}$ sono funzioni continue, anche la $\mathrm {y}$, che ne è la somma, è una funzione continua della $\mathrm {x}$ per $\mathrm {|x-x_{0}|\leq h_{1}}$.

Ricordando che $\psi$ è funzione continua di $x,y$, si ha poi, passando al limite per $n=\infty$ nell'ultima delle (3):

$\lim _{n=\infty }y_{n}-y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,\lim _{n=\infty }y_{n-1})$, ossia

$y=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y=$, ossia

Alle domande da noi poste in principio del capoverso $\beta$ si deve comunque rispondere affermativamente. È bene evidente che $y=y_{0}$ per $x=x_{0}$. Dalle (3) si deduce subito infatti (ricordando che $\psi (x_{0},y_{0})=0$): $y_{1}=y_{0},y_{2}=y_{0},.....,y_{n}=y_{0}$ per $x=x_{0}$. Quindi anche $y=\lim _{n=\infty }y_{n}=y_{0}$ per $x=x_{0}$¹.

Ora dimostreremo che in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=x_{0}}$ non esiste altra funzione continua $\mathrm {y}$ della $\mathrm {x}$, che per $\mathrm {x=x_{0}}$, si riduca ad $\mathrm {y_{0}}$, la quale soddisfi alla $\mathrm {f(x,y)=0}$. Se infatti vi fosse un'altra tale funzione, e noi la indicassimo con $z$, sarebbe

$<=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,z)$

$z-y_{0}=\psi (x,z)-\psi (x,y_{n-1})$

che è uguale a $z-y_{n-1}$ moltiplicando per un valore intermedio di $\psi '_{y}$.

Ora in un intorno abbastanza piccolo di $x=x_{0}<math>,<math>y_{n-1}$ e la $z$ differiscono da $y_{m}$ per meno di $k_{1}$; e un tale valore intermedio non supera quindi $H$; cosicchè $|z-y_{n}|\leq H|<-y_{n-1}|$. Sarà pure $|z-y_{n-1}|\leq H|z-y_{n-2}|$, ecc.; e se ne deduce $|z-y_{n}|\leq H^{n-1}|z-y_{1}|$. Poichè $\lim _{n=\infty }H^{n-1}=0$, se ne deduce, passando al limite per $n=\infty$, che $\lim _{n=\infty }(z-y_{n})=0$, ossia che $z=y$ c. d. d. ².

Vogliamo provare l'esistenza di ${\frac {dy}{dx}}$ per $x=x_{0}$, e calcolare tale derivata. È $f(x_{0},y_{0})=0$, E sia $\Delta y$ l'incremento che riceve la $y$, quando la $x$ riceve l'incremento $\Delta x$. Sarà $f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=0$; e quindi anche, sottraendo,

$f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{o},y_{0})=0$,

ossia, per il teorema della media:

$\Delta yf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)+\Delta xf'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0})=0$

$(0<\theta <1),(0<\theta '<1)$³.

Poichè $y$ è funzione continua della $x$, è $\lim _{|}deltax=0\Delta y=0$. Dividendo la precedente formola per $\Delta xf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)$, e passando al limite per $\Delta x=0$, ossia $\Delta x=\Delta y=0$, si trova:

$\lim _{\Delta x=0,\Delta y=0}\left\{{\frac {f'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0}}{f'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)}}+{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right\}=0$.

Poichè il limite del primo addendo esiste ed è finito (è uguale a ${\frac {f'_{x}(x_{0},y_{0})}{f'_{y}(x_{0},y_{0})}}$, il cui denominatore è per ipotesi differente da zero, sarà

$\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=y'_{x}={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f'_{x}(x_{0},y_{0})}{f'x(x_{0},y_{0})}}$.

formola che ora ritroveremo per altra via, ammettendo a priori l'esistenza di $y$ e di $y$.

Oss.Tutti questi risultati potrebbero essere falsi, se $f'y(x_{0},y_{0})=0$.

Così, p. es. si osservi che l'equazione $f=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=0$, pure essendo soddisfatta per $x=x_{0},y=y_{0}$, non ammette soluzioni reali per $x-x_{0}\not =0$. E si noti che è appunto ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2(y-y_{0})=0$ per $y=y_{0}$. Così pure l'equazione $f=x^{2}-y^{2}=0$ è soddisfatta per $x=y=0$; ed esistono due (non una) funzioni $y=x,y=-x$, continue e nulle per $x=0$ che ad essa soddisfano. E di nuovo si verifica che $f'_{x}=2y=0$ per $y=0$.

Infine si noti che l'ultima formola si scrive di solito

(9)                              $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f'_{x}(x,y)}{f'y(x,y)}}$

perchè essa ci dà il valore di ${\frac {dy}{dx}}$ non nel solo punto $x_{0},y_{0}$, ma in tutti i punti $(x,y)$ di un suo intorno, che soddisfano alla $f(x,y)=0$.

$\gamma$) Se noi ammettiamo l'esistenza e la derivabilità della funzione $y=\varphi (x)$ delle $x$ che soddisfa alla $f(x,y)=0$, possiamo in altro modo più semplice determinare la derivata $y'_{x}$.

Ponendo $y=\varphi (x)$ in $f(x,y)$, si ottiene una funzione $f[x,\varphi (x)]$ identicamente nulla della sola $x$ (cioè nulla per ogni valore della $x$).

[Si noti che invece la $f(x,y)$ non è identicamente nulla per tutti i valori delle $x,y$. Altrimenti sarebbe, contro l'ipotesi fatta, non solo $f'_{x}=0$, ma anche $f'_{y}=0$]. Quindi sarà pure identicamente nulla per la derivata prima della $f[x,\varphi (x)]$.

Sarà cioè per il teorema del § 83, $\alpha$:

${\frac {df[x,\varphi (x)]}{dx}}=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}y'_{x}\right]=_{y=\varphi (x)}0$.

Se ne deduce $y'_{x}=-{\frac {f'_{x}}{f'y}}$ (supposto $f'_{y}\not =0$).

Questa formola non è la (9) scritta più sopra: essa (se $f\not =0$) permette di esprimere $y'_{x}$ per mezzo delle $x,y$, senza che vi sia bisogno di dare $y$ proprio sotto forma di funzione esplicita della $x$.

Analogamente la $y''_{x}$ si calcolerebbe dalla (cfr. la (2) del § 83, $\alpha$, pag. 277, ove si ponga $x=i$)

${\frac {d^{2}f(x,\varphi (x))}{dx^{2}}}=f''_{xx}+2f''_{xy}y'+f''_{yy}y'^{2}+f'_{y}y''=0$

se le derivate seconde di $f$ sono finite e continue. (È facile verificare che in tal caso $y''$ esiste, e che quindi si può scrivere la formola precedente.

$\delta$) Sia p. es., da trovare l'equazione della tangente nel punto $(x_{0},y_{0})$ della ellisse o iperbole ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. Questa equazione sarà:

$(y-y_{0})-(y'_{x})(x-x_{0})=0$,

dove con $(y'_{z})_{0}$ indico il valore di $y'_{x}$ nel punto $(x_{0},y_{0})$. Si voglia calcolare tale valore della derivata senza risolvere l'equazione della curva. Dalla (9) si ottiene tosto:

$(y'_{x})_{0}=-\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1\right):{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {x^{2}}{a_{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1\right)\right]_{0}=\mp {\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$.

Cosicchè l'equazione della tangente è:

$\pm (y-y_{0})+{\frac {x_{0}b^{2}}{y_{0}a^{2}}}(x-x_{0})=0$, ossia:

${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}\pm {\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$,

perchè il punto $(x_{0},y_{0})$ appartiene alla nostra curva. In generale l'equazione della tangente alla curva $f(x,y)=0$ nel suo punto $(x_{0},y_{0})$ è nelle nostre ipotesi:

$(y-y_{o})-(y'_{x})_{0}(x-x_{0})-0$,

ossia per la (9)

$(y-y_{o})\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}+(x-x_{0})\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}=0$, $\,\,\,\,$(10)

dove con $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0},\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}$ indico i valori delle ${\frac {\partial f}{dx}},{\frac {\partial f}{\partial y}}$ nel punto $x=x_{0},y=y_{0}$.

Così, p. es., per la conica $C$ di equazione

$a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

l'equazione della tangente nel punto $(x_{0},y_{0})$ vale

$(a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13})(x-x_{0})+(a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})(y-y_{0})=0$.

Ricordando che $(x_{0},y_{0})$ appartiene a $C$, e che perciò

$(a_{11}x_{0}+a_{21}x_{0}+a_{13})x+(a_{21}x_{0}+a_{22}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})y+$

$+(a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33})=0$.

Il primo membro evidentemente è una funzione simmetrica nelle $(x,y)$ ed $x_{0},y_{0})$, cioè non muta scambiando $(x,y)$ con $(x_{0},y_{0})$. È questa l'osservazione più semplice, da cui possa dedursi il principio delle polari reciproche.

Note

1. Se si volesse soltanto dimostrare l'esistenza della funzione $y$ della $x$, senza insegnare a calcolarla, si potrebbe procedere così. Essendo $f'_{n}\not =0$ per $x=0y=y_{0}$ la curva $Y=f(x_{0},X)$ tracciata nel piano $(X,Y)$, che incontra l'asse delle $X$ nel punto $X=y_{0}$, attraversa in tale punto tale asse, cosicchè $f(x_{0},y_{0}+k)$ e $f(x_{0},y_{0}-k)$ sono di segno contrario, se $k$ è abbastanza piccolo. Quindi, se $x$ è avvastanza prossimo ad $x_{0}$, anche $f'(x,y_{0}+k)$ e $f(x,y_{0}-k)$ sono di segno opposto; ed esiste perciò un punto $y$ compreso tra $y_{0}+k$ e $y_{0}-k$ tale che $f(x,y)=0$. Esiste perciò un tale valore di $y$ per ogni valore di $x$ abbastanza prossimo ad $x_{0}$.
2. Si potrebbe dimostrare questa asserzione anche così. Se $f(x,y)-f(x,z)=0$, per il teorema della media è ${\overline {f''_{n}}}[y-z]=0$, dove con ${\overline {f''_{x}}}$ indico un valore intermedio di $f'_{v}$. Se $y\not =z$ se ne deduce che questo valore intermedio ${\overline {f'_{y}}}$ è nullo. Ciò che è assurdo, perchè per $x$ abbastanza prossimo a $x_{n}$, le $y$ e le $z$ sono prossime ad $y_{0}$ e (poichè $f'_{y}(x_{0},y_{0})\not =0$, ed $f'_{x}$ è continua) la $f'_{y}$ è differente da zero in tutto un intorno del punto $(x_{0},y_{0})$.
3. Da questa formola si potrebbe dedurre in altro modo che la $y$ è funzione continua della $x$, p. es. nel punto $(x_{0},y_{0})$ ossia che $\lim _{\delta x=0}\Delta y=0$. Infatti, essendo $f'_{x}$ continuo e quindi inferiore in valore assoluto ad una costante finita, è

   $\lim _{\Delta x=0}\Delta xf'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0})=0$.

   Dalla formola precedente segue che anche il $\lim _{\Delta x=0}\Delta yf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)=0$. Poichè il limite del secondo fattore è differente da zero, sarà $\lim _{\Delta x=0}\Delta y=0$ c.d.d.