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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

superiore rispetto a ${\sqrt {h^{2}+k^{2}}}$ , perchè $\alpha ,\beta$ , come sappiamo, tendono a zero per $h=0,k=0$ . La prima quantità $kf'_{x}+kf'_{y}$ sarò detta differenziale della funzione e sarà indicata brevemente col simbolo $df$

Possiamo dunque scrivere, quando l'incremento

$f(x+h,y+k)-f(x,y)$

della funzione si indichi con $\Delta f$ ,

$\Delta f=df+(\alpha h+\beta k)$ .

Osserviamo che, se $f(x,y)=x$ , è $f'_{x}=1$ , $f'_{y}=0$ ; e quindi

$dx=h.1+k.0=h$ .

Analogamente il differenziale $dy$ vale $k$ .

Il differenziale della funzione generale $f/x,y)$ sarà dunque

$df=f'_{x}dx+f'_{y}dy={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$ .

Ne risulta confermato che ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ non sono (almeno secondo le definizioni qui poste)¹ quozienti di differenziali, ma veri e proprii simboli.

In modo analogo si pone per una funzione di più variabili $f(x,y,.....,z,t)$ la quale possegga derivata prima continue:

$df=f'_{x}dx+f'_{y}dy+.....+f'_{z}dx+f'_{t}dt$ .

È evidente che l'analogia di questi ragionamenti e di queste definizioni con le corrispondenti proposizioni relative alle funzioni di una sola variabile. Nel caso attuale si è dovuto soltanto ammettere in più la continuità delle derivate prime della $f$ .

§ 83. — Derivate delle funzioni di funzioni.
(Funzioni composte).

$\alpha$ )) Sia $z$ una funzione $f(x,y)$ di due variabili $x,y$ , le quali sieno funzioni di una variabile $t$ . Quando $t$ varia in un certo intervallo $\gamma$ , i lpunto $(x,y)$ varii nel campo ove è definita la $z$ , cosicchè la $z$ sia funzione della $t$ nell'intervallo $\gamma$ .

Sieno $f'_{x},f'_{y}$ finite e continue, $x'_{z}$ e $y'_{t}$ finite. Quando la $t$ riceve un incremento $\Delta t$ , siano $\Delta x,\Delta y$ i corrispondenti incre-

↑ Si potrebbero definire i differenziali parziali $\partial _{x}f=f'_{x}dx$ ; $\partial _{y}f=f'_{y}dy$ , e interpretare allora ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ come quozienti, i cui numeratori fossero $\partial _{x}f,\partial _{y}f$ , e i denominatori $dx,dy$ . Ma ciò porterebbe soltanto complicazioni.

[1] Si potrebbero definire i differenziali parziali $\partial _{x}f=f'_{x}dx$ ; $\partial _{y}f=f'_{y}dy$ , e interpretare allora ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ come quozienti, i cui numeratori fossero $\partial _{x}f,\partial _{y}f$ , e i denominatori $dx,dy$ . Ma ciò porterebbe soltanto complicazioni.

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