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Integrale

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Dunque:

$\int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {M}{2}}\log(x^{2}+px+p)+{\frac {1}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}\,{\text{artg}}\,{\frac {x+{\frac {p}{2}}}{\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}}}}+{\text{cost.}}$

Il nostro problema è completamente risoluto.

Così, p. es., per integrare

${\frac {x^{5}+2x^{3}+5x^{2}+x+1}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}}}$,

si ponga:

${\frac {x^{5}+2x^{3}+5x^{2}+x+1}{x^{2}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Mx+N}{x^{2}+1}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}}{x(x^{2}+1)}}\right)$,

dove manca al secondo membro ogni polinomio, perchè nel primo membro il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore. Si trova:

   $A=1$,   $M=0$,   $N=1$,   $b_{2}=1$,   $b_{1}=0$,   $b_{0}=-1$.

E quindi l'integrale cercato vale:

$\log |x|+\,{\text{artg}}\,x+{\frac {x^{2}+1}{x(x^{2}+1)}}+\,{\text{cost}}.$

(

§ 77. — Integrazione di alcune funzioni trascendenti o irrazionali.

$\alpha$) Sia $f$ una funzione razionale (quoziente di polinomi) nella variabile $e^{x}$. Si voglia calcolarne l'integrale $\int f(e^{x})dx$. Posto $e^{x}=z$, $zdx=dz$ questo integrale si riduce all'integrale $\int {\frac {f(z)}{z}}dz$ (che noi sappiamo calcolare) della funzione razionale ${\frac {f(z)}{z}}$.

$\beta$) Sia $F$ una funzione razionale delle funzioni goniometriche ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$, ${\text{tg}}\,x$, ${\text{cotg}}\,x$, ecc. della $x$. Le formole ${\text{tg}}\,x={\frac {{\text{sen}}\,x}{{\text{cos}}\,x}}$, ${\text{cotg}}\,x={\frac {{\text{cos}}\,x}{{\text{sen}}\,x}}$, ecc. ci permettiamo di trasformarla in una funzione razionale $f$ delle sole variabili ${\text{sen}}\,x$, ${\text{cos}}\,x$. Per calcolare