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integrali

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cioè diventa l'integrale di una funzione razionale della $z$, che noi sappiamo calcolare.

$\gamma ^{2}$) Si calcoli ora (1) nell'ipotesi $a<0$, Se $\alpha$, $\beta$ sono le radici di $ax^{2}+bx+c=0$, è (posto $a=-k^{2}$):

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=-k^{2}(x-\alpha )(x-\beta )$.

Questo polinomio dovendo essere positivo, affinchè (1) abbia significato reale, dovrà essere:

(4)                    $(x-\alpha )(x-\beta )<0$,

cosicchè le $\alpha$, $\beta$ non potranno essere complesse coniugate, nè uguali e reali¹. Le $\alpha$ e $\beta$ saranno quindi reali e distinte. Dalla (4) si deduce che $x-\alpha$ e $x-\beta$ sono di segno contrario, e quindi che $x-\alpha$ e $\beta -x$ hanno lo stesso segno, ossia che si può porre

${\frac {x-\alpha }{\beta -x}}=z^{2}$,

dove $z$ è un'altra variabile reale. Risolvendo rispetto ad $x$ si ha:

     $x={\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}$;          donde:          $dx=2(\beta -\alpha ){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}$,

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}={\sqrt {-a(x-\alpha )(\beta -x)}}=$

${\sqrt {-a{\frac {x-\alpha }{\beta -x}}(\beta -x)^{2}}}=kz(\beta -x)=kz{\frac {\beta -\alpha }{1+z^{2}}}$,

cosicchè l'integrale (1) diventa:

$2(\beta -\alpha )\int f\left({\frac {\alpha +\beta z^{2}}{1+z^{2}}}<text{,}k(\beta -\alpha ){\frac {z}{1+z^{2}}}\right){\frac {zdz}{(1+z^{2})^{2}}}$,

che è un integrale di una funzione razionale delle $z$, e che noi quindi sappiamo calcolare².

$\delta$) Il caso $a=0$ è (per $m=2$) un caso particolare dell'integrale

     $\int f(x{\text{,}}{\sqrt[{m}]{bx+c}})dx${{spazi|10}($m=$ intero positivo); ($b\not =0)$.

Questo integrale, posto ${\sqrt[{m}]{(}}bx+c)=z$, $x={\frac {z^{m}-c}{b}}$, $dx={\frac {m}{b}}z^{m-1}dz$, diventa l'integrale ${\frac {m}{b}}\int f\left({\frac {z^{m}-c}{b}}{\text{,}}z\right)z^{m-1}dz$

1. Se $\alpha =a+ib$, con $b=0$, o $b\not =0$, allora $(x-\alpha )(x-\beta )=(x-a)^{2}+b^{2}\geq \,0$.
2. In <math<\gamma^1</math>) e $\gamma ^{2}$) l'indeterminazione del segno per ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ corrisponde all'indeterminazione del segno per $k$.