Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 75

by Guido Fubini

Capitolo 12 - Regole generali di integrazione

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 12 - Regole generali di integrazione

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§ 75. — Regole generali di integrazione.

Ci si potrebbe proporre di trovare per l'integrazione metodi analoghi a quelli svolti nei §§ 55-60 per la derivazione. Ma per l'integrazione non esistono metodi così perfetti, come quelli dati per calcolare le derivate. Si può dimostrare che al teorema di pag. 189 si può opporre il seguente:

Esistono delle funzioni $\mathrm {F(x)}$ calcolabili con un numero finito di operazioni elementari¹, il cui integrale non è calcolabile con un numero finito di tali operazioni (ciò che avviene, p. es., per la radice quadrata di un polinomio generico di grado superiore al secondo; che pure è una funzione tanto semplice).

I pochi metodi che esporremo e che servono nei casi più semplici non sono in fondo che l'enunciato, con altre parole, di teoremi a noi già noti.

α) Abbiamo già detto al § 74, η, pag. 245, che se noi conosciamo

$\int f(x)dx$ e $\int \varphi (x)dx$,

noi possiamo subito calcolare

$\int [f(x)+\varphi (x)]dx=\int f(x)dx+\int \varphi (x)dx+C$

$\int kf(x)=k\int f(x)+C$    ($k={\text{cost.}}$).

Formole affatto analoghe valgono per gli integrali definiti. Si ha cioè:

$\int _{a}^{b}[f(x)+\varphi (x)]dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}\varphi (x)dx$

$\int _{a}^{b}kf(x)dx=k\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Così, per esempio:

$\int ({\text{sen}}\,x+{\text{cos}}\,x)dx=\int {\text{sen}}\,x\,dx+\int {\text{cos}}\,x\,dx=-{\text{cos}}\,x+{\text{sen}}\,x+C$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}({\text{sen}}\,x+{\text{cos}}\,x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\text{Sen}}\,x\,dx+\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\text{cos}}\,x\,dx=1+1=2$

β) Teorema di integrazione per sostituzione. Sia $y=\int F(x)dx$ donde $y'_{x}=F(x)$. Sia $x=G(z)$² una funzione di una nuova variabile $z$ con derivata $G'(z)$ continua. Per la regola di derivazione di funzione di funzione sarà:

$y'_{z}=y'_{x}x'_{z}=F(x)G'(z)=F[G(z)]G'(z)$;

donde, per la stessa definizione d'integrale:

$\int F(x)dx=y=\int (F[G(z)]G'(z)dz$.

. Questa formola costituisce il cosidetto teorema d'integrazione per sostituzione; dal primo si passa al terzo membro, sostituendo alla x ed alla dx i loro valori G(z), G'(z) dz. Questa regola dimostra che il simbolo $dz$, che figura in $\int f(x)dx$ è scelto così opportunamente, che nel calcolo lo si può trattare con un differenziale³.

Da quanto precede si scorge che così l'integrazione del differenziale $F(x)dx$ è ridotta a quella del differenziale

$F\,[G\,(z)]\,G'\,(z)\,dz$,

l'integrale del quale, presa convenientemente la funzione $x=G(z)$ potrà talvolta riuscire più agevolmente calcolabile che quello del differenziale

$F(x)dx$.

Naturalmente non possono stabilirsi regole per riconoscere in ogni caso quale sia la sostituzione da farsi, ed il successo dipenderà anche dalla maggiore o minore pratica che si ha in calcoli di tal genere.

Talvolta è invece più comodo calcolare l'integrale $\int F(x)dx$, anzichè lo $\int F(G)G'(z)dz$. E in questo caso la nostra dimostrazione serve a ridurre al primo questo secondo integrale.

Osserviamo ancora che se, p. es., col nostro metodo riduciamo il calcolo di $\int F(x)dx$ al calcolo di $F(G)G'(z)dz$, allora noi otteniamo l'integrale espresso come funzione non più di $x$, ma della variabile ausiliaria $z$. Perchè la sostituzione riesce utile, e cioè si possa avere $y$ espresso come funzione della $x$, occorrerà che l'equazione

$x\,=\,G\,(z)$

sia risolubile rispetto a $z$ in modo univoco, cioè che se ne possa dedurre

$z\,=\,H\,(x)$,

ove $H$ è funzione di $x$.

In tal caso l'integrale definito $\int _{a}^{b}\,F\,(x)\,dx$ è uguale a $\int _{\alpha }^{\beta }\,F\,[G\,(z)]\,G'\,(z)\,dz$, dove $\alpha$ e $\beta$ sono i valori assunti dalla ${\displaystyle }$ rispettivamente per $x=a$, o $x=b$. Così, p. es., $\int \,(x+a)^{m}\,dx$, posto $x+a=z$ e quindi $dx=dz$, diventa $\int \,z^{m}\,dz$ che è, come sappiamo ${\frac {z^{m+1}}{m+1}}\,+\,C$ o $\log |z|+C$ secondo che $m+1\not =0$ oppure $m+1=0$. Quindi ritroviamo la formola nota (ponendo $z=x+a$).

$\int (x+a)^{m}dx={\begin{cases}{\frac {(x+a)^{m+1}}{m+1}}\,+C\,\,\,{\text{se}}\,\,\,m+1\not =0\\\log |x+a|+C\,\,\,{\text{se}}\,\,\,m=-1\end{cases}}$.

Così, se $a\not =0$, posto $x=az$, $dx=a\,d\,z$, $z={\frac {x}{a}}$, si ha:

$\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}=\int {\frac {adz}{a^{2}(z^{2}+1}}={\frac {1}{a}}{\text{arctg}}\,z+C={\frac {1}{a}}\,{\text{arctg}}\,{\frac {x}{a}}+C$.

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int {\frac {adz}{\sqrt {a^{2}(1-z)}}}=\int {\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}=\,{\text{arcsen}}\,z+C=\,{\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}+C$.

Così, posto $z=\varphi (x)$, $dz=\varphi '(x)$, $dx$, si trova

$\int {\frac {\varphi '(x)}{\varphi (x)}}dx=\int {\frac {dz}{z}}=\log |z|+C=\log |\varphi (x)|+C$,

formole tutte, che noi già conoscevamo.

Ben presto troveremo nuove importanti applicazioni di questo metodo.

γ) Teorema di integrazione per parti — Il teorema di integrazione per parti non è altro che una differente enunciazione della regola di derivazione del prodotto di due funzioni. Supponiamo che $u$ e $v$ siano due funzioni continue insieme alle loro derivate prime. Poichè

$(uv)'=u'v+uv'$,

per definizione di integrale otteniamo:

$uv=\int (u'v+uv')dx$.

Ed essendo l'integrale di una somma uguale alla somma degli integrali, è

$uv=\int u'vdx+\int uv'dx$.

Donde ricaviamo:

$\int u'vdx=uv-\int uv'dx$.

Posto $v=\Psi$, $u'=\varphi$, sarà $u=\int \varphi dx$. E si ha il:

Teorema. — Se $\mathrm {\varphi }$ è una funzione continua che ha per integrale $\mathrm {u}$, e $\mathrm {\Psi }$ è una funzione continua che ha per derivata la funzione $\mathrm {\varphi '}$ pure continua, allora l'integrale del prodotto $\mathrm {\varphi \,\Psi }$ è uguale al prodotto del secondo fattore $\mathrm {\Psi }$ per l'integrale $\mathrm {u}$ del primo diminuito dell'integrale del prodotto che si ottiene moltiplicando l'integrale trovato $\mathrm {u}$ del primo fattore per la derivata $\mathrm {\Psi '}$ del secondo fattore.

Esempi:

1° Trovare

$\int \log \,x\,dx$.

Si può scrivere:

$\int \,\log \,x\,dx=\,\int \,1\,\cdot \,\log \,x\,dx$;

e, ponendo

$\varphi =1$, donde $u=\int \,1\,\cdot \,dx\,=\,\int \,dx=x$,

               $\Psi =\log \,x$,               $\Psi '={\frac {1}{x}}$, si ottiene:

$\int \,1\cdot \,\log \,x\,dx\,=\,x\,\log \,x\,-\,\int \,x\,{\frac {1}{x}}\,dx\,=\,x(\log \,x-1)\,+\,C$.

2° Così pure si trova:

$f(a)-f(0)=\int _{0}^{a}\,1\cdot f'(x)dx=[(x-a)f'(x)]_{0}^{a}-\int _{0}^{a}(x-a)f''(x)dx=$

$af'(0)-\left[{\frac {(x-a)^{2}}{\lfloor {2}}}f''(x)\right]_{0}^{a}+\int _{0}^{a}{\frac {(x-a)^{2}}{\lfloor {2}}}f''(x)dx=$ ecc.

Si ritrova così la formola di Taylor, col resto sotto forma di integrale (cfr. la (9) del§ 69 a pag. 214, dove si ponga $h=a$, $\alpha =0$).

3° Trovare:                    $\int {\text{arctg}}\,x\,dx$. Possiamo scrivere:

$\int {\text{arctg}}\,x\,dx=\int 1\cdot \,{\text{arctg}}\,x\,dx$;

posto

${\begin{matrix}\varphi =1{\text{,}}\\\Psi ={\text{arctg}}\,x{\text{,}}\end{matrix}}$

è

${\begin{cases}u=x\\\Psi '={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{cases}}$.

Quindi:

$\int 1.{\text{arctg}}\,xdx=x{\text{arctg}}x-\int x{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=$

$=x\,{\text{arctg}}\,x\,-\,{\frac {1}{2}}\,\int \,{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,dx$

$=\,x\,{\text{arctg}}\,x\,-\,{\frac {1}{2}}\,\log \,(1+x^{2})\,+\,C$.

Note

1. Cioè somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, innalzamento a potenza, consultazioni di tavole logaritmiche o trigonometriche.
2. È sottinteso che, mentre la $z$ varia in un certo intervallo, la $x$ varii nell'intervallo ove è definito il nostro integrale.
3. Noi lo avevamo introdotto soltanto come un modo per indicare un integrale. Così p. es., avremo potuto introdurre altro modo di scrittura, p. es., scrivere $\int f(x)$ anzichè $\int f(x)dx$. Già di qui vediamo come sia felice il simbolismo adottato (cfr. anche il Cap. 15).