Supponiamo che e siano due funzioni continue insieme alle loro derivate prime. Poichè
,
per definizione di integrale otteniamo:
.
Ed essendo l'integrale di una somma uguale alla somma degli integrali, è
.
Donde ricaviamo:
.
Posto , , sarà . E si ha il:
Teorema. — Se è una funzione continua che ha per integrale , e è una funzione continua che ha per derivata la funzione pure continua, allora l'integrale del prodotto è uguale al prodotto del secondo fattore per l'integrale del primo diminuito dell'integrale del prodotto che si ottiene moltiplicando l'integrale trovato del primo fattore per la derivata del secondo fattore.
1° Trovare
.
Si può scrivere:
;
e, ponendo
, donde ,
, ,
si ottiene:
.
2° Così pure si trova:
ecc.