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capitolo xii — § 75-76

Si ritrova così la formola di Taylor, col resto sotto forma di integrale (cfr. la (9) del§ 69 a pag. 214, dove si ponga $h=a$, $\alpha =0$).

3° Trovare:                    $\int {\text{arctg}}\,x\,dx$. Possiamo scrivere:

$\int {\text{arctg}}\,x\,dx=\int 1\cdot \,{\text{arctg}}\,x\,dx$;

posto

${\begin{matrix}\varphi =1{\text{,}}\\\Psi ={\text{arctg}}\,x{\text{,}}\end{matrix}}$

è

${\begin{cases}u=x\\\Psi '={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{cases}}$.

Quindi:

$\int 1.{\text{arctg}}\,xdx=x{\text{arctg}}x-\int x{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=$

$=x\,{\text{arctg}}\,x\,-\,{\frac {1}{2}}\,\int \,{\frac {2x}{1+x^{2}}}\,dx$

$=\,x\,{\text{arctg}}\,x\,-\,{\frac {1}{2}}\,\log \,(1+x^{2})\,+\,C$.

§ 76. — Integrazione delle frazioni razionali.

1° Ci occupiamo naturalmente soltanto delle frazioni reali (quozienti di polinomi a coefficienti reali). Diremo semplice ogni frazione del tepo ${\frac {A}{x+a}}$, cioè ogni quoziente di una costante $A$ per un polinomio di primo grado $x+a$, ed ogni frazione del tipo

${\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$,

cioè ogni quoziente di un polinomio $Mx+N$ di primo grado per un trinomio $x^{2}+px+q$ di secondo grado, purchè

${\frac {p^{3}}{4}}-q<0$ ossia $q-{\frac {p^{2}}{4}}>0$,

cioè purchè l'equazione $x^{3}+px+q=0$ abbia radici complesse.

Teor. Ogni frazione ${\frac {P(x)}{T(x)}}$ è somma

$\alpha$) di un polinomio $Q(x)$ (il quoziente ottenuto dividendo $P(x)$ per $T(x)$; esso è nullo soltanto se il grado $p$ di $P(x)$ è inferiore al grado $t$ di $T(x)$;