Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 74

by Guido Fubini

Capitolo 12 - Primi teoremi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 74. — Primi teoremi.

α) Proponiamoci le seguenti domande fondamentali:

1° È ogni funzione $\mathrm {F(x)}$ la derivata di un'altra funzione $\mathrm {f(x)}$?

2° Tale funzione $\mathrm {f(x)}$ è determinata dall'ipotesi che la sua derivata $\mathrm {f'(x)}$ valga $\mathrm {F(x)}$? E, se non è tale, quale è la sua determinazione?

L'intuizione permette di prevedere le risposte che si dovranno dare a tali domande.

Consideriamo la funzione (da determinarsi) $f(x)$ come il valore che la distanza $OM$ da un punto $M$ mobile su una retta $r$ ad origine fissa $O$ ha all'istante $x$. Se noi ammettiamo lecita questa supposizione, le nostre domande si riducono (§ 47) semplicemente a queste : Può una qualsiasi funzione continua $F(x)$ esiste pensata come misura della velocità che un punto mobile $M$ mobile su una retta $r$ possiede all'istante $x$? Data tale velocità $F(x)$, la distanza $OM=f(x)$ di $M$ dall'origine $O$ resta essa completamente determinata? oppure quale intedeterminazione possiede?

A noi appare come intuitivo che alla prima domanda si debba rispondere affermativamente; e appare pure evidente che, per dare la posizione di <matha>M</math> su $r$ all'istante $x$, non basti dare la velocità $F(x)$, ma si debba anche assegnare la posizione di $M$ in un istante almeno, p. es., per $x=a$. E, se anche una tale posizione è nota, sembra intuitivo che ne resti individuata la posizione di $M$ ad ogni altro istante.

Così di un treno $M$ che si muova su una linea nota $r$ noi sappiamo assegnare la posizione ad ogni istante, se conosciamo per ogni istante la velocità del treno $M$, e conosciamo o l'ora e il punto di partenza, o anche, se si vuole, la posizione del treno su $r$ ad un'ora prefissata $x=a$. Se invece non conosciamo per nessun istante la posizione i $M$ (non sappiamo donde e a che ora è partito il treno $M$), allora, pur conoscendone la velocità $F(x)$ ad ogni istante $x$, non possiamo dire dove si trovi $M$ all'istante $x$. ma possiamo ciononostante sapere quale spazio abbia percorso il punto $M$ tra due istanti distinti $a$, $b$; in altre parole tale spazio è perfettamente determinato, quando è nota ad ogni istante $x$ la velocità del punto $M$.

Se $M_{1}$, $M_{2}$ sono due punti mobili sulla stessa retta $r$, e se essi posseggono ugual velocità $F(x)$ all'istante $x$, la distanza $M_{1}M_{2}$ non varia col tempo (è costante); cosicchè le distanze $f_{1}(x)=OM_{1}$, $f_{2}(x)=OM_{2}$ hanno una differenza costante, ossia differiscono solo per una costante additiva.

Analiticamente ciò significa:

Teorema di esistenza.

1° Esiste almeno una funzione $f(x)$ che possiede una derivata continua $F(x)$ prefissata.

2° Data $\mathrm {F(x)}$, per determinare completamente $\mathrm {f(x)}$, si deve dare in più il valore di $\mathrm {f(x)}$ per un qualche valore dela $\mathrm {x}$, p. es., per $\mathrm {x=a}$.

3° Data $\mathrm {F(x)}$, pure non essendo $\mathrm {f(x)}$ completamente determinata, è però univocamente determinata la differenza $\mathrm {f(a)-f(b)}$ dei valori $\mathrm {f(x)}$, assume in due punti $\mathrm {x=a,x=b}$ prefissati arbitrariamente nell'intervallo, ove $\mathrm {F(x)}$ è definita.

4° Se $\mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)}$ sono due funzioni che hanno la stessa derivata $\mathrm {F(x)}$, la differenza $\mathrm {f_{1}(x)-f_{2}(x)}$ è una costante. Cosicchè, per trovare rurre le funzioni che hanno derivata $\mathrm {F(x)}$ basta trovarna una sola $\mathrm {f(x)}$ ed aggiungere poi ad essa una costante arbitraria; la $\mathrm {f(x)+cost.}$ sarà poi la generale funzione che ha $\mathrm {F(x)}$ per derivata.

β) DImostriamo il primo di questi teoremi. Se $F(x)\geq \,0$, l'area $A$ del rettangoloide considerato a pagina 165 (ove si scriva $F$ al posto di $f$)(oppure se tale area non è determinata, la sua area esterna od interna) è proprio (pag. 165) una funzione $f(x)$, la cui derivata vale $F(x)$.

Se poi $F(x)$ assume anche valori negativi, consideriamola in un intervallo finito. Sia $-k$ il suo valore minimo. Allora $\Phi (x)=F(x)+k$ non è mai negativa, e, per quanto si è dimostrato, è perciò la derivata di una qualche funzione $\varphi (x)$. Anche $F(x)$ è quindi una derivata; è precisamente la derivata di

$f(x)=\varphi (x)-kx$.

γ) Per dimostrare le 2^a, 3^a, 4^a precedenti proposizioni, ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata sempre nulla e il teorema reciproco (§ 63, pag. 202):

Una funzione, la cui derivata è identicamente nulla, è una costante.

Ne deduciamo come al 1. cit. (§ 63, ε):

Se $\mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)}$ sono due funzioni aventi la stessa derivata (determinata e finita) $\mathrm {F(x)}$ la loro differenza è una costante.

Infatti la differenza $f_{1}(x)-f_{2}(x)$ ha per derivata

$f'_{1}(x)-f'_{2}(x)=F(x)-F(x)=0$.

Essa, per il teorema citato più sopra, è dunque costante.

Geometricamente questo teor. si enuncia così: Se le tangenti alla curva $\mathrm {y=f_{1}(x),y_{2}(x)}$ in punti di uguali ascissa sono parallele, le due curve si deducono l'una dall'altra con una traslazione parallela all'asse delle $\mathrm {y}$.

Si ha dunque:

$f_{1}(x)=f_{2}(x)+k\mathrm {(} k=\mathrm {cost.} )$ (teor. 4°).

Ponendo $x=a$, e quindi $x=b$ si ha:

$f_{1}(a)=f_{2}(a)+k$

$f_{1}(b)=f_{2}(b)+k$.

Sottraendo, se ne deduce:

$f_{1}(a)-f_{1}(b)=f_{2}(a)-f_{2}(b)$.

Data cioè la funzione $F(x)$, è completamente individuata la differenza dei valori che in due punti $a$, $b$ assume una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata (teor. 3°).

Una funzione $f(x)$ che abbia $F(x)$ per derivata, sarà data (teor. 4°) della formola

$f(x)=f_{1}(x)+C$,

dove $C$ è una costante indeterminata. Se noi vogliamo che per $x=a$ sia $f(x)=A$, sarà

$A=f(a)=f_{1}(a)+C$, ossia $C=A-f_{1}(a)$

e quindi               $f(x)=f_{1}(x)-f_{1}(a)+A$.

La funzione $f(x)$ è perciò completamente determinata (teor. 2°).

Sono così completamente dimostrate tutte le proposizioni enunciate qui sopra.

δ) Una conseguenza molto importante si trae da quanto abbiamo dimostrato. Se $F(x)\geq \,0$, consideriamo il rettangoloide, di cui ci siamo già serviti per dimostrare il primo teorema del presente paragrafo. le sue aree esterna ed interna, avendo entrambe la stessa derivata $F(x)$, differiscono per una costante. Ma questa costante è nulla, perchè tutte e due queste are sono nulle per $x=a$. Cosicchè la loro differenza è nulla per $x=a$; ed, essendo costante, è nulla per ogni valore della $x$. Quelle due aree sono perciò uguali.

Se dunque $y=F(x)\geq \,0$ è una funzione continua, il rettangoloide racchiuso tra l'asse delle $x$, la curva e le due ordinate ha uguali l'area esterna ed interna, cioè possiede un'area nel senso più elementare della parola: area (cfr. § 7).

ε) Una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata si indica con $\int Fdx$, e si chiama integrale indefinito della $F(x)$.

Questo nome è dovuto a ciò che un tale integrale non è completamente definito, ma è definito soltanto a meno di una costante additiva. Così, poichè $\mathrm {cos} x$ è la derivata di $\mathrm {sen} x$, noi scriveremo.

$\int \mathrm {cos} xdx=\mathrm {sen} x+C$ ($C=$ costante arbitraria). La differenza $f(b)-f(a)$ si dice integrale definito di $F(x)$ nell'intervallo ($a$, $b$, perchè non varia qualunque costante si aggiunga ad $f(x)$, e si indica con $\int _{a}^{b}F(x)dx$. I numeri $a$ e $b$ si dicono rispettivamente i limiti di integrazione (il limite 'inferiore, ed il superiore).

Un tale integrale è completamente definito dalla funzione $F$, e dai limiti $a$, $b$. il suo valore non dipende perciò dal suo nome dato dalla variabile di integrazione. Così, p. es.

$\int _{a}^{b}\mathrm {cos} xdx=\int _{a}^{b}\mathrm {cos} zdz=\mathrm {sen} b-\mathrm {sen} a$

La differenza $f(b)-f(a)$ si indica anche con $[f(x)]_{a}^{b}$ Cosicchè, se

$\int F(x)dx=f(x)$,

sarà $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=f(b)-f(a)=[f(x)]_{a}^{b}$

È poi evidente che: (1)               $\int _{a}^{b}\,F(x)dx=-\int _{b}^{a}\,F(x)dx$ (2)     $\int _{a}^{b}\,F(x)dx+\int _{b}^{c}\,F(x)dx=\int _{a}^{c}\,F(x)dx$; $\int _{a}^{a}\,F(x)dx=0$. Le (1), (2) equivalgono infatti alle identità

$f(b)-f(a)=-[f(a)]-[f(b)]$

$[f(b)-f(a)]+[f(c)-f(b)]=f(c)-f(a)$

$f(a)-f(a)=0$.

Inoltre per il teor. della media:

$\int _{a}^{b}\,\mathrm {F(x)\,d\,x=f(b)-f(a)=(b-a)f(c)=(b-a)F(c)}$,

dove $\mathrm {c}$ è un punto intermedio tra $\mathrm {a}$ e $\mathrm {b}$. Quindi: Se $\mathrm {M}$ è il massimo di $\mathrm {|F(x)|}$, sarà: (3)                    $|\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx|\leq \,M\,|b-a|}$.

Se, p. es., $F(x)$ indica la velocitù di nn mobile all'istante $x$, la seconda e la terza di queste uguaglianze (se $a<b<c$), dicono che la somma degli spazi percorsi nell'intervallo ($a$, $b$) e nell'intervallo $b$, $c$, è uguale allo spazio percorso nell'intervallo $a$, $c$); e che lo spazio percorso in un istante (se pure è lecito dire una tale frase) è nullo. La prima delle precedenti uguaglianze ci dice che lo spazio percorso nell'intervallo $b$, $a$) si deve riguardare come uguale in valore assoluto e di segno opposto a quello percorso nell'intervallo ($a$, $b$); cosicchè la precedente osservazione assume un significato generale.

È evidente che: L'area del rettangoloide limitato dalla curva $\mathrm {y=F(x)\geq \,0}$, dall'asse delle $\mathrm {x}$ e dalle ordinate $\mathrm {x=a,x=b}$ vale $\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx}$, se $\mathrm {a<b}$.

Se gli assi fossero obliqui e formassero un andolo $\mathrm {\omega }$, il prodotto di questo integrale per $\mathrm {{\text{sen}}\omega }$ varrebbe l'area della figura analoga $\mathrm {0\leq \,y\,\leq \,F(x)}$; $\mathrm {a\,\leq \,x\,\leq \,b}$. Questo teorema coincide con il precedente per $\mathrm {\omega ={\frac {\pi }{2}}}$.

Se nell'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx=\int _{a}^{b}F(z)dz$ consideriamo l'estremo superiore $b$ come variabile, e per fissar le idee, poniamo $b=x$, otteniamo

$\int _{a}^{x}F(x)dx=\int _{a}^{z}F(z)dz$

che è uguale ad $f(x)-f(a)$ e quindi differisce da $f(x)$ soltanto per una costante additiva. Esso è pure un integrale indefinito della $F(x)$. Quindi anche

$\int _{a}^{x}F(x)dx+A=\int _{a}^{x}F(z)dz+A$

($A=$ costante arbitraria)

è un integrale indefinito di $F(x)$. Esso è anzi proprio quell'integrale definito che per $\mathrm {x=a}$ assume il valore $\mathrm {A}$.

E lo $\int _{a}^{x}\mathrm {f(x)dx}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $\mathrm {x=a}$.

ζ) Quindi:

Da un integrale indefinito $f(x)=\int F(x)dx$ si ottiene l'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx$ eseguendo la differenza $f(b)-f(a)$.

Dall'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx$ si deducono gli integrali indefiniti, ponendo $b=x$, ed aggiungendo una costante arbitraria.

Vi è uno e un solo integrale indefinito che per $x=a$ assuma il valore $A$; precisamente lo

$f(x)=\int _{a}^{x}F(x)dx+A$.

La seguente tabella, dedotta dal quadro di pag. 190, dà gli integrali definiti fondamentali.

Integrali fondamentali.

$\int \mathrm {sn} x\,dx=-{\text{cos}}\,x+C$; $\int {\text{cos}}x\,dx={\text{sen}}\,x+C$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\text{arcsen}}\,x+C$; $\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}+C$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}={\text{Arctg}}\,x+C$; ${\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}{\text{arctg}}{\frac {x}{a}}+C$

$\int {\frac {dx}{x}}=\log |x|+C$; $\int {\frac {dx}{x+a}}=\log |x+a|+C$¹

$\int (x+a)^{m}dx={\frac {(x+a)^{m+1}}{m+1}}+C$ ($m$ intero positivo $\not =-1$)²

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

$2ma^{2}\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=(2m-1)\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}+{\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}+c$³

($m$ intero positivo).

η) Se $f(x)=\int \varphi (x)dx$, ossia $f'(x)=\varphi (x)$, e $k$ è una costante, è $[kf(x)]'=kf'(x)=k\,\varphi (x)$ e quindi $\int k\varphi (x)dx=kf(x)=k\int \varphi (x)dx$ (a meno della solita costante additiva arbitraria).

Se $f_{1}(x)=\int \varphi _{1}(x)dx$, $f_{2}(x)=\int \varphi _{2}(x)dx$, allora $[f_{1}(x)+f_{2}(x)]'=f'_{1}(x)+f'_{2}(x)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)$; e quindi $\int \varphi _{1}dx+\int \varphi _{2}dx=f_{1}(x)+f_{2}(x)=\int [\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)]dx+{\text{cost.}}$

Si hanno così le formole (se $\varphi ,\varphi _{1},\varphi _{2}$ sono continue):

$\int k\varphi (x)dx=k\int \varphi (x)dx+C$ ($k={\text{cost.}}$,

$\int [\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(x)]dx=\int \varphi _{1}(x)dx+\int \varphi _{(}x)dx+C$,

che sono di uso assai frequente.

Note

1. Se $x>0$, esiste $\log x$; e dalla $(\log x)^{r}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log x=\int {\frac {dx}{x}}$. Se $x<0$, esiste $\log(-x)$; e dalla $\left[\log(-x)\right]_{x}^{a}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log(-x)=\int {\frac {dx}{x}}$.
2. Così ${\frac {(x+a)^{m+1}-(1-a)^{m+1}}{m+1}}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $x=1$. Se noi ne cerchiamo il limite per $m+1=0$ (p. Es. ponendo $m+1=z$, derivi num. e den. rispetto $z$, e quindi ponendo $z=0$ secondo la regola del § 63, β) si trova $(x+a)^{c}\log(x+a)-(1+a)^{z}\log(1+a)$, che per $z=0$ diventa $\log(x+a)-\log(1+a)$, cioè precisamente quell'integrale $\int {\frac {dx}{x+a}}$ che si annulla per $x=1$.
3. Dalla quarta riga di questo quadra si trae il valore di $\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$ quando $m=1$. Ponendo nellì'ultima riga successivamente $m=1,2,3,.....$, se ne deducono successivamente il valore del nostro integrale per ogni valore intero positivo della $m$. Questa formula si dimostra osservano che:

   $\left({\frac {x}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}\right)={\frac {2ma^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{m+1}}}=-(2m-1){\frac {1}{(x^{2}+a^{2})^{m}}}$.