Lezioni di analisi matematica/Capitolo 12/Paragrafo 74

Capitolo 12 - Primi teoremi

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Capitolo 12 Capitolo 12 - Paragrafo 75

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§ 74. — Primi teoremi.

α) Proponiamoci le seguenti domande fondamentali:

È ogni funzione la derivata di un'altra funzione ?

Tale funzione è determinata dall'ipotesi che la sua derivata valga ? E, se non è tale, quale è la sua determinazione?

L'intuizione permette di prevedere le risposte che si dovranno dare a tali domande.

Consideriamo la funzione (da determinarsi) come il valore che la distanza da un punto mobile su una retta ad origine fissa ha all'istante . Se noi ammettiamo lecita questa supposizione, le nostre domande si riducono (§ 47) semplicemente a queste : Può una qualsiasi funzione continua esiste pensata come misura della velocità che un punto mobile mobile su una retta possiede all'istante ? Data tale velocità , la distanza di dall'origine resta essa completamente determinata? oppure quale intedeterminazione possiede?

A noi appare come intuitivo che alla prima domanda si debba rispondere affermativamente; e appare pure evidente che, per dare la posizione di <matha>M</math> su all'istante , non basti dare la velocità , ma si debba anche assegnare la posizione di in un istante almeno, p. es., per . E, se anche una tale posizione è nota, sembra intuitivo che ne resti individuata la posizione di ad ogni altro istante.

Così di un treno che si muova su una linea nota noi sappiamo assegnare la posizione ad ogni istante, se conosciamo per ogni istante la velocità del treno , e conosciamo o l'ora e il punto di partenza, o anche, se si vuole, la posizione del treno su ad un'ora prefissata . [p. 240 modifica]Se invece non conosciamo per nessun istante la posizione i (non sappiamo donde e a che ora è partito il treno ), allora, pur conoscendone la velocità ad ogni istante , non possiamo dire dove si trovi all'istante . ma possiamo ciononostante sapere quale spazio abbia percorso il punto tra due istanti distinti , ; in altre parole tale spazio è perfettamente determinato, quando è nota ad ogni istante la velocità del punto .

Se , sono due punti mobili sulla stessa retta , e se essi posseggono ugual velocità all'istante , la distanza non varia col tempo (è costante); cosicchè le distanze , hanno una differenza costante, ossia differiscono solo per una costante additiva.

Analiticamente ciò significa:

Teorema di esistenza.

1° Esiste almeno una funzione che possiede una derivata continua prefissata.

Data , per determinare completamente , si deve dare in più il valore di per un qualche valore dela , p. es., per .

Data , pure non essendo completamente determinata, è però univocamente determinata la differenza dei valori , assume in due punti prefissati arbitrariamente nell'intervallo, ove è definita.

Se sono due funzioni che hanno la stessa derivata , la differenza è una costante. Cosicchè, per trovare rurre le funzioni che hanno derivata basta trovarna una sola ed aggiungere poi ad essa una costante arbitraria; la sarà poi la generale funzione che ha per derivata.

β) DImostriamo il primo di questi teoremi. Se , l'area del rettangoloide considerato a pagina 165 (ove si scriva al posto di )(oppure se tale area non è determinata, la sua area esterna od interna) è proprio (pag. 165) una funzione , la cui derivata vale .

Se poi assume anche valori negativi, consideriamola in un intervallo finito. Sia il suo valore minimo. Allora non è mai negativa, e, per quanto si è dimostrato, è perciò la derivata di una qualche funzione . Anche è quindi una derivata; è precisamente la derivata di

.

[p. 241 modifica]γ) Per dimostrare le 2a, 3a, 4a precedenti proposizioni, ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata sempre nulla e il teorema reciproco (§ 63, pag. 202):

Una funzione, la cui derivata è identicamente nulla, è una costante.

Ne deduciamo come al 1. cit. (§ 63, ε):

Se sono due funzioni aventi la stessa derivata (determinata e finita) la loro differenza è una costante.

Infatti la differenza ha per derivata

.

Essa, per il teorema citato più sopra, è dunque costante.

Geometricamente questo teor. si enuncia così: Se le tangenti alla curva in punti di uguali ascissa sono parallele, le due curve si deducono l'una dall'altra con una traslazione parallela all'asse delle .

Si ha dunque:

(teor. 4°).

Ponendo , e quindi si ha:

.

Sottraendo, se ne deduce:

.

Data cioè la funzione , è completamente individuata la differenza dei valori che in due punti , assume una funzione , che abbia per derivata (teor. 3°).

Una funzione che abbia per derivata, sarà data (teor. 4°) della formola

,

dove è una costante indeterminata. Se noi vogliamo che per sia , sarà

, ossia

e quindi               .

La funzione è perciò completamente determinata (teor. 2°).

Sono così completamente dimostrate tutte le proposizioni enunciate qui sopra.

δ) Una conseguenza molto importante si trae da quanto abbiamo dimostrato. [p. 242 modifica]Se , consideriamo il rettangoloide, di cui ci siamo già serviti per dimostrare il primo teorema del presente paragrafo. le sue aree esterna ed interna, avendo entrambe la stessa derivata , differiscono per una costante. Ma questa costante è nulla, perchè tutte e due queste are sono nulle per . Cosicchè la loro differenza è nulla per ; ed, essendo costante, è nulla per ogni valore della . Quelle due aree sono perciò uguali.

Se dunque è una funzione continua, il rettangoloide racchiuso tra l'asse delle , la curva e le due ordinate ha uguali l'area esterna ed interna, cioè possiede un'area nel senso più elementare della parola: area (cfr. § 7).

ε) Una funzione , che abbia per derivata si indica con , e si chiama integrale indefinito della .

Questo nome è dovuto a ciò che un tale integrale non è completamente definito, ma è definito soltanto a meno di una costante additiva. Così, poichè è la derivata di , noi scriveremo.

( costante arbitraria). La differenza si dice integrale definito di nell'intervallo (, , perchè non varia qualunque costante si aggiunga ad , e si indica con . I numeri e si dicono rispettivamente i limiti di integrazione (il limite 'inferiore, ed il superiore).

Un tale integrale è completamente definito dalla funzione , e dai limiti , . il suo valore non dipende perciò dal suo nome dato dalla variabile di integrazione. Così, p. es.

La differenza si indica anche con Cosicchè, se

,

sarà

È poi evidente che: (1)                (2)     ; . [p. 243 modifica]Le (1), (2) equivalgono infatti alle identità

.


Inoltre per il teor. della media:

,

dove è un punto intermedio tra e . Quindi: Se è il massimo di , sarà: (3)                    .

Se, p. es., indica la velocitù di nn mobile all'istante , la seconda e la terza di queste uguaglianze (se ), dicono che la somma degli spazi percorsi nell'intervallo (, ) e nell'intervallo , , è uguale allo spazio percorso nell'intervallo , ); e che lo spazio percorso in un istante (se pure è lecito dire una tale frase) è nullo. La prima delle precedenti uguaglianze ci dice che lo spazio percorso nell'intervallo , ) si deve riguardare come uguale in valore assoluto e di segno opposto a quello percorso nell'intervallo (, ); cosicchè la precedente osservazione assume un significato generale.

È evidente che: L'area del rettangoloide limitato dalla curva , dall'asse delle e dalle ordinate vale , se .

Se gli assi fossero obliqui e formassero un andolo , il prodotto di questo integrale per varrebbe l'area della figura analoga ; . Questo teorema coincide con il precedente per .

Se nell'integrale definito consideriamo l'estremo superiore come variabile, e per fissar le idee, poniamo , otteniamo

che è uguale ad e quindi differisce da soltanto per una costante additiva. Esso è pure un integrale indefinito della . [p. 244 modifica]Quindi anche

( costante arbitraria)

è un integrale indefinito di . Esso è anzi proprio quell'integrale definito che per assume il valore .

E lo è quell'integrale indefinito che si annulla per .

ζ) Quindi:

Da un integrale indefinito si ottiene l'integrale definito eseguendo la differenza .

Dall'integrale definito si deducono gli integrali indefiniti, ponendo , ed aggiungendo una costante arbitraria.

Vi è uno e un solo integrale indefinito che per assuma il valore ; precisamente lo

.

La seguente tabella, dedotta dal quadro di pag. 190, dà gli integrali definiti fondamentali.


Integrali fondamentali.

;

;

;

; 1

[p. 245 modifica] ( intero positivo )2

3

( intero positivo).


η) Se , ossia , e è una costante, è e quindi (a meno della solita costante additiva arbitraria).

Se , , allora ; e quindi

Si hanno così le formole (se sono continue):

(,

,

che sono di uso assai frequente.

Note

  1. Se , esiste ; e dalla si trae . Se , esiste ; e dalla si trae .
  2. Così è quell'integrale indefinito che si annulla per . Se noi ne cerchiamo il limite per (p. Es. ponendo , derivi num. e den. rispetto , e quindi ponendo secondo la regola del § 63, β) si trova , che per diventa , cioè precisamente quell'integrale che si annulla per .
  3. Dalla quarta riga di questo quadra si trae il valore di quando . Ponendo nellì'ultima riga successivamente , se ne deducono successivamente il valore del nostro integrale per ogni valore intero positivo della . Questa formula si dimostra osservano che:

    .