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capitolo xii — § 75

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Perchè la sostituzione riesce utile, e cioè si possa avere $y$ espresso come funzione della $x$, occorrerà che l'equazione

$x\,=\,G\,(z)$

sia risolubile rispetto a $z$ in modo univoco, cioè che se ne possa dedurre

$z\,=\,H\,(x)$,

ove $H$ è funzione di $x$.

In tal caso l'integrale definito $\int _{a}^{b}\,F\,(x)\,dx$ è uguale a $\int _{\alpha }^{\beta }\,F\,[G\,(z)]\,G'\,(z)\,dz$, dove $\alpha$ e $\beta$ sono i valori assunti dalla ${\displaystyle }$ rispettivamente per $x=a$, o $x=b$. Così, p. es., $\int \,(x+a)^{m}\,dx$, posto $x+a=z$ e quindi $dx=dz$, diventa $\int \,z^{m}\,dz$ che è, come sappiamo ${\frac {z^{m+1}}{m+1}}\,+\,C$ o $\log |z|+C$ secondo che $m+1\not =0$ oppure $m+1=0$. Quindi ritroviamo la formola nota (ponendo $z=x+a$).

$\int (x+a)^{m}dx={\begin{cases}{\frac {(x+a)^{m+1}}{m+1}}\,+C\,\,\,{\text{se}}\,\,\,m+1\not =0\\\log |x+a|+C\,\,\,{\text{se}}\,\,\,m=-1\end{cases}}$.

Così, se $a\not =0$, posto $x=az$, $dx=a\,d\,z$, $z={\frac {x}{a}}$, si ha:

$\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}=\int {\frac {adz}{a^{2}(z^{2}+1}}={\frac {1}{a}}{\text{arctg}}\,z+C={\frac {1}{a}}\,{\text{arctg}}\,{\frac {x}{a}}+C$.

$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int {\frac {adz}{\sqrt {a^{2}(1-z)}}}=\int {\frac {dz}{\sqrt {1-z^{2}}}}=\,{\text{arcsen}}\,z+C=\,{\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}+C$.

Così, posto $z=\varphi (x)$, $dz=\varphi '(x)$, $dx$, si trova

$\int {\frac {\varphi '(x)}{\varphi (x)}}dx=\int {\frac {dz}{z}}=\log |z|+C=\log |\varphi (x)|+C$,

formole tutte, che noi già conoscevamo.

Ben presto troveremo nuove importanti applicazioni di questo metodo.

γ) Teorema di integrazione per parti — Il teorema di integrazione per parti non è altro che una differente enunciazione della regola di derivazione del prodotto di due funzioni.