Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 1

by Guido Fubini

Numeri razionali positivi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Numeri razionali positivi

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§ 1. — Numeri razionali positivi.

L’aritmetica dopo i numeri interi positivi [il cui studio risolve completamente il problema di contare] considera i numeri fratti positivi, che insieme ai numeri interi risolvono in qualche caso il problema della misura ¹. Se noi, per fissare le idee ci riferiamo ai segmenti, e ne scegliamo uno determinato $M$ come unità di misura (potremo dire come metro) noi diciamo che un altro segmento $N$ è uguale ad $\textstyle {\frac {n}{m}}$ di $M$, o anche che $N$ ha per misura $\textstyle {\frac {n}{m}}$, o anche che il rapporto di $N$ ad $M$ vale $\textstyle {\frac {n}{m}}$ (dove con $n$, $m$ sono indicati interi positivi), se $N$ è la somma di $n$ segmentini uguali $\delta$, ciascuno dei quali è la $m^{esima}$ parte di $M$ (cioè $M$ è la somma di $m$ segmenti uguali a $\delta$). E la definizione di uguaglianza di due numeri fratti (si pone $\textstyle {\frac {n}{m}}=\textstyle {\frac {p}{q}}$ se $nq=mp$) è scelta appunto in modo tale che, se un segmento $N$ ha per misura tanto la frazione $m/n$, quanto l’altra $\textstyle {\frac {p}{q}}$, allora le due frazioni siano uguali ².

A tutti è nota poi quale importanza abbia (specialmente per i calcoli numerici) la trasformazione di una frazione in un numero decimale. Quando noi scrivamo, per esempio

${\frac {1}{5}}=0,2$;

${\frac {1}{50}}=0,02$;

${\frac {6}{5}}=1,2$

noi intendiamo soltanto di scrivere in altro modo le uguaglianze

${\frac {1}{5}}={\frac {2}{10}}$;

${\frac {1}{50}}={\frac {2}{100}}$;

${\frac {6}{5}}={\frac {12}{10}}$.

In altre parole noi abbiamo trasformato le frazioni $\textstyle {\frac {1}{5}}$, $\textstyle {\frac {1}{50}}$, $\textstyle {\frac {6}{5}}$ in altre, il cui denominatore è il numero $10$, od una delle sue potenze $10^{2}=100$, $10^{3}=1000$, eccetera.

Sarà però qui opportuno (per analogia con quanto segue) scrivere ogni numero decimale limitato come un numero decimale illimitato (con infinite cifre decimali) scrivendo:

${\frac {1}{5}}=0,2000000\ldots ;$

${\frac {1}{50}}=0,0200000\ldots ;$

${\frac {6}{5}}=1,2000000\ldots ;$

ciò che, per note convenzioni, non muta il significato delle precedenti uguaglianze.

Di significato assai più risposto sono le uguaglianze tra un numero fratto generico, e il corrispondente numero decimale (che è o periodico, o periodico misto), quali, ad esempio, le uguaglianze:

${\frac {4}{3}}=1,3333.....$

${\frac {31}{30}}=1,03333.....$

che possiamo considerare insieme alle analoghe:

${\frac {9}{9}}=1=0,9999.....$

${\frac {1}{5}}=0,2=0,19999.....$

Per esempio la $\textstyle {\frac {4}{3}}=1,333.....$ ci dice che il segmento $N$, la cui misura è $\textstyle {\frac {4}{3}}$, è compreso:

$\alpha$) tra i segmenti aventi per misura 1 o 2;

$\beta$) tra i segmenti aventi per misura $1,3$ e $1,3+0,1=1,4$;

$\gamma$) tra i segmenti aventi per misura $1,33$ e $1,33+0,01=1,34$, eccetera.

In altre parole il segmento $N$ di misura $\textstyle {\frac {4}{3}}$ contiene una volta, e non due il segmento $M$.

Se da $N$ sottraggo $M$ il massimo numero di volte possibile (una volta), nel segmento residuo $N_{1}$ la decima parte di $M$ è contenuta tre volte e non quattro volte. Se da $N_{1}$ sottraggo il massimo numero di volte possibile (tre volte) la decima parte di $M$, nel segmento residuo $N_{2}$ la centesima parte di $M$ è contenuta tre volte e non quattro volte, e così via.

In altre parole la $\textstyle {\frac {4}{3}}=1,333.....$ equivale alle seguenti disuguaglianze

$\left.{\begin{matrix}1<{\frac {4}{3}}<2\\1,3<{\frac {4}{3}}<1,3+{\frac {1}{10}}=1,4\\1,33<{\frac {4}{3}}<1,33+{\frac {1}{100}}=1,34\\1,333<{\frac {4}{3}}<1,333+{\frac {1}{1000}}=1,334,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (1)

Osservazioni perfettamente analoghe valgono per la

${\frac {31}{30}}=1,0333\ldots ...$, eccetera

Anzi queste osservazioni ci permettono di dare un metodo per sviluppare in numero decimale un numero fratto generico $\textstyle {\frac {p}{q}}$. Se $N$ è, per esempio, il segmento, di cui $\textstyle {\frac {p}{q}}$ è la misura, si sottragga da $N$ il numero massimo possibile $n$ di volte il metro $M$. Questo massimo numero $n$ è la parte intera dello sviluppo. Dal segmento residuo $N_{1}$ si sottragga il massimo numero possibile $n_{1}$ di volte la decima parte di $M$. Questo intero $n_{1}$ sarà la prima cifra decimale dello sviluppo. Dal segmento residuo $N_{2}$ si sottragga il massimo numero possibile $n_{2}$ di volte la centesima parte di $M$. Il numero $n_{2}$ sarà la seconda cifra decimale del cercato sviluppo. E così via.

Analogo, ma leggermente distinto, è il significato delle

${\frac {1}{5}}=0,2000000.....$;

${\frac {1}{5}}=0,1999......$

La prima di queste significa che

$\left.{\begin{matrix}0\leq {\frac {1}{5}}<0+1=1\\0,2\leq {\frac {1}{5}}<0,2+{\frac {1}{10}}=0,3\\0,20\leq {\frac {1}{5}}<0,20+{\frac {1}{100}}=0,21\\0,200\leq {\frac {1}{5}}<0,200+{\frac {1}{1000}}=0,201,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (2)

La seconda significa che:

$\left.{\begin{matrix}0<{\frac {1}{5}}\leq 0+1=1\\0,1<{\frac {1}{5}}\leq 0,1+{\frac {1}{10}}=0,2\\0,19<{\frac {1}{5}}\leq 0,19+{\frac {1}{100}}=0,20\\0,199<{\frac {1}{5}}\leq 0,199+{\frac {1}{1000}}=0,200,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (3)

È a tutti evidente l'analogia tra le (1), (2), (3). Unica differenza è la seguente: In ciascuna delle (1) compare due volte il segno $<$. Nelle (2) il primo dei segni $<$ è sostituito da un $\leq$; nelle (3) il secondo dei segni $<$ è sostituito da $\leq$.

E ciò perchè il numero $\textstyle {\frac {1}{5}}$ è uguale al numero decimale limitato $0,2=0,20=0,200=\ldots$; il quale compare, a partire da una delle (2) o delle (3) in poi, nei primi membri delle (2), nei secondi membri delle (3).

Un fatto analogo si presenta per ogni numero, che sia uguale a un numero decimale limitato. Così, per esempio:

$0,52=0,520000.....=0,51999.....$

perchè, per nota convenzione aritmetica, si considerano come uguali due numeri decimali l'uno formato da certe cifra seguite da infiniti zeri, l'altro formato dalle stesse cifre (tranne l'ultima cifra non nulla, che viene diminuita di $1$) seguite da infiniti $9$. Per tali sviluppi decimali valgono disuguaglianze analoghe alle (2), (3), mentre per ogni numeri decimale, che non sia del tipo ora studiato, valgono disuguaglianze analoghe alle (1). I primi numeri si possono scrivere in due modi distinti sotto forma di numero decimale; i secondi si possono scrivere in un sol modo come numeri decimali.

Diremo che due numeri $\alpha$, $\beta$ sono uguali fino alla $n^{esima}$ cifra decimale, se la parte intera e le prime $n$ cifre dopo la virgola nello sviluppo decimale di $\alpha$ (o in uno dei due sviluppi di $\alpha$, se $\alpha$ ammette due sviluppi decimali) sono uguali alla parte intera ed alle prime $n$ cifre dopo la virgola nello sviluppo, o in uno dei due sviluppi del numero $\beta$.

Così, per esempio:

${\frac {13}{99}}=0,131313.....$;

${\frac {131}{999}}=0,131131.....$;

sono uguali fino alla terza decimale.

Si noti che, secondo tale convenzione, per esempio:

${\frac {1}{9}}=0,1111.....$

e ${\frac {2}{9}}=0,2222.....$;

pure non avendo la prima decimale comune, sono entrambi uguali fino alla prima cifra decimale con

${\frac {1}{5}}=0,1999.....=0,2000.....$

Notiamo che:

La lunghezza di un segmento N commensurabile con M (cioè la cui misura è un numero fratto) ha una misura e una sola, che si può scrivere sotto forma di numero decimale (periodico). E viceversa ogni numero decimale periodico è misura della lunghezza di un segmento N commensurabile con M, e dei segmenti ad esso sovrapponibili, ma di nessun altro segmento.

Se ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$ sono segmenti commensurabili con M, altrettanto avviene del segmento somma ${\text{N}}_{1}+{\text{N}}_{2}$; il quale, come è noto, ha per misura la somma delle misure dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$.

Se ${\text{N}}_{1}$ è il più grande dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, la misura di ${\text{N}}_{1}$ è maggiore di quella di ${\text{N}}_{2}$ e viceversa. (È detto per brevità: misura di $N_{1}$ anzichè misura della lunghezza di $N_{1}$).

Note

1. Nelle scienze più svariate si presenta il problema della misura delle grandezze di una certa classe $G$. Affinchè tale problema abbia senso, è necessario che, date due grandezze $a$, $b$ distinte o no di $G$, si possa dire sempre quando $a>b$,oppure $a=b$ oppure $a<b$. E questi simboli $>$, $=$, $<$ dovranno essere definiti in modo che $a=a$; che, se $a>b$, sia $b<a$; che, se $a=b$, $b=c$ sia $a=c$, eccetera.
   
   Date due o più grandezze distinte o no di $G$, si deve poter definire la loro somma in guisa che $a+b=b+a$; $a+(b+c)=a+b+c$. Si potranno così definire multipli di una qualsiasi grandezza $a$; e dovrà valere il postulato di Archimede che, se $b$ è un’altra qualsiasi grandezza di $G$, esista un multiplo di $a$ che sia maggiore di $b$. E dovranno anche esistere tutti i sottomultipli di una grandezza qualsiasi di $G$. La somma di più grandezze di $G$ dovrà essere non minore di ogni suo addendo, eccetera eccetera.

           Se una classe $G$ di grandezze gode delle precedenti proprietà, per essa si potrà porre il problema della misura. Tali, ad esempio, sono la classe delle lunghezze dei segmenti, la classe delle grandezze degli angoli; e queste classi sono specialmente semplici, perchè l’uguaglianza delle lunghezze di due segmenti, o dell’ampiezza di due angoli si riduce alla sovrapponibilità di tali segmenti o di tali angoli. Più complesse sono altre classi di grandezze (aree delle figure piane, volumi o pesi dei corpi solidi, eccetera). Se noi scegliamo, per fissar le idee, il problema della misura delle lunghezze dei segmenti come problema iniziale, dobbiamo in sostanza definire dei simboli (numeri) e definire le proprietà di questi simboli in guisa che a segmenti di ugual lunghezza corrisponda lo stesso numero, che a ogni numero corrisponda un segmento, che a segmento di lunghezza maggiore corrisponda numero maggiore, che a un segmento $\alpha$ somma di due segmenti $\beta$, $\gamma$ corrisponda una misura somma delle misure delle lunghezze di $\beta$ e $\gamma$, eccetera. Il problema analogo per ogni altra classe di grandezze si propone di definire una corrispondenza, dotata di proprietà analoghe, tra le grandezze considerate, e i numeri precedentemente definiti. È noto che tale problema della misura ammette (se risolubile) infinite soluzioni: una delle quali si definisce fissando la grandezza unitaria (unità di misura), cioè la grandezza a cui si farà corrispondere il numero 1.
   

   Per certe grandezze orientate (debiti e crediti, altezza sopra o sotto il livello del mare, eccetera) si pone pure un analogo problema della misura: il quale richiede però la considerazione dei numeri negativi.
2. Si dice poi che $\textstyle {\frac {n}{m}}<{\frac {p}{q}}$ e $\textstyle {\frac {p}{q}}>\textstyle {\frac {n}{m}}$ se $nq<mp$. In tal caso il segmento che ha $\textstyle {\frac {n}{m}}$ per misura è minore del segmento, la cui misura vale $\textstyle {\frac {p}{q}}$.