Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/22

6

capitolo i — § 1-2

Così, per esempio:

${\frac {13}{99}}=0,131313.....$;

${\frac {131}{999}}=0,131131.....$;

sono uguali fino alla terza decimale.

Si noti che, secondo tale convenzione, per esempio:

${\frac {1}{9}}=0,1111.....$

e ${\frac {2}{9}}=0,2222.....$;

pure non avendo la prima decimale comune, sono entrambi uguali fino alla prima cifra decimale con

${\frac {1}{5}}=0,1999.....=0,2000.....$

Notiamo che:

La lunghezza di un segmento N commensurabile con M (cioè la cui misura è un numero fratto) ha una misura e una sola, che si può scrivere sotto forma di numero decimale (periodico). E viceversa ogni numero decimale periodico è misura della lunghezza di un segmento N commensurabile con M, e dei segmenti ad esso sovrapponibili, ma di nessun altro segmento.

Se ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$ sono segmenti commensurabili con M, altrettanto avviene del segmento somma ${\text{N}}_{1}+{\text{N}}_{2}$; il quale, come è noto, ha per misura la somma delle misure dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$.

Se ${\text{N}}_{1}$ è il più grande dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, la misura di ${\text{N}}_{1}$ è maggiore di quella di ${\text{N}}_{2}$ e viceversa. (È detto per brevità: misura di $N_{1}$ anzichè misura della lunghezza di $N_{1}$).

§ 2. — Numeri irrazionali.

Come è ben noto, le precedenti considerazioni e i precedenti risultati sono stati estesi anche ai segmenti $N$ incommensurabili con $M$ (per esempio alla diagonale del quadrato, il cui lato è $M$). Anche per tali segmenti si è definita la misura che è un numero che ancora gode delle proprietà testè enunciate.

Se $N$ è un tale segmento, si sottragga da $N$ il massimo numero possibile $p$ di volte il metro $M$ [cioè $pM<N<(p+1)M$]. Dal segmento residuo $N_{1}$ si sottragga il massimo numero possibile $n_{1}$ di volte la decima parte di $M$. Dal segmento residuo $N_{2}$ si sottragga il massimo numero $n_{2}$ di volte la centesima parte di $M$ e così via.