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numeri reali

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Sarà però qui opportuno (per analogia con quanto segue) scrivere ogni numero decimale limitato come un numero decimale illimitato (con infinite cifre decimali) scrivendo:

${\frac {1}{5}}=0,2000000\ldots ;$

${\frac {1}{50}}=0,0200000\ldots ;$

${\frac {6}{5}}=1,2000000\ldots ;$

ciò che, per note convenzioni, non muta il significato delle precedenti uguaglianze.

Di significato assai più risposto sono le uguaglianze tra un numero fratto generico, e il corrispondente numero decimale (che è o periodico, o periodico misto), quali, ad esempio, le uguaglianze:

${\frac {4}{3}}=1,3333.....$

${\frac {31}{30}}=1,03333.....$

che possiamo considerare insieme alle analoghe:

${\frac {9}{9}}=1=0,9999.....$

${\frac {1}{5}}=0,2=0,19999.....$

Per esempio la $\textstyle {\frac {4}{3}}=1,333.....$ ci dice che il segmento $N$, la cui misura è $\textstyle {\frac {4}{3}}$, è compreso:

$\alpha$) tra i segmenti aventi per misura 1 o 2;

$\beta$) tra i segmenti aventi per misura $1,3$ e $1,3+0,1=1,4$;

$\gamma$) tra i segmenti aventi per misura $1,33$ e $1,33+0,01=1,34$, eccetera.

In altre parole il segmento $N$ di misura $\textstyle {\frac {4}{3}}$ contiene una volta, e non due il segmento $M$.

Se da $N$ sottraggo $M$ il massimo numero di volte possibile (una volta), nel segmento residuo $N_{1}$ la decima parte di $M$ è contenuta tre volte e non quattro volte. Se da $N_{1}$ sottraggo il massimo numero di volte possibile (tre volte) la decima parte di $M$, nel segmento residuo $N_{2}$ la centesima parte di $M$ è contenuta tre volte e non quattro volte, e così via.