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CAPITOLO I.

NUMERI REALI

§ 1. — Numeri razionali positivi.

L’aritmetica dopo i numeri interi positivi [il cui studio risolve completamente il problema di contare] considera i numeri fratti positivi, che insieme ai numeri interi risolvono in qualche caso il problema della misura ¹. Se noi, per fissare le idee ci riferiamo ai segmenti, e ne scegliamo uno determinato $M$ come unità di misura (potremo dire come metro) noi diciamo che un altro segmento $N$ è uguale ad $\textstyle {\frac {n}{m}}$ di $M$ , o anche che $N$ ha per misura $\textstyle {\frac {n}{m}}$ , o anche che il rapporto di $N$ ad $M$ vale $\textstyle {\frac {n}{m}}$

↑ Nelle scienze più svariate si presenta il problema della misura delle grandezze di una certa classe $G$ . Affinchè tale problema abbia senso, è necessario che, date due grandezze $a$ , $b$ distinte o no di $G$ , si possa dire sempre quando $a>b$ ,oppure $a=b$ oppure $a<b$ . E questi simboli $>$ , $=$ , $<$ dovranno essere definiti in modo che $a=a$ ; che, se $a>b$ , sia $b<a$ ; che, se $a=b$ , $b=c$ sia $a=c$ , eccetera.
Date due o più grandezze distinte o no di $G$ , si deve poter definire la loro somma in guisa che $a+b=b+a$ ; $a+(b+c)=a+b+c$ . Si potranno così definire multipli di una qualsiasi grandezza $a$ ; e dovrà valere il postulato di Archimede che, se $b$ è un’altra qualsiasi grandezza di $G$ , esista un multiplo di $a$ che sia maggiore di $b$ . E dovranno anche esistere tutti i sottomultipli di una grandezza qualsiasi di $G$ . La somma di più grandezze di $G$ dovrà essere non minore di ogni suo addendo, eccetera eccetera.

Se una classe $G$ di grandezze gode delle precedenti proprietà, per essa si potrà porre il problema della misura. Tali, ad esempio, sono la classe delle lunghezze dei segmenti, la classe delle grandezze degli angoli; e queste classi sono specialmente semplici, perchè l’uguaglianza delle lunghezze di due segmenti, o dell’ampiezza di due angoli si riduce alla sovrapponibilità di tali segmenti o di tali angoli. Più complesse sono altre classi di grandezze (aree delle figure piane, volumi o pesi dei

1 — G. Fubini, Analisi matematica.

[nota1-1] Nelle scienze più svariate si presenta il problema della misura delle grandezze di una certa classe $G$ . Affinchè tale problema abbia senso, è necessario che, date due grandezze $a$ , $b$ distinte o no di $G$ , si possa dire sempre quando $a>b$ ,oppure $a=b$ oppure $a<b$ . E questi simboli $>$ , $=$ , $<$ dovranno essere definiti in modo che $a=a$ ; che, se $a>b$ , sia $b<a$ ; che, se $a=b$ , $b=c$ sia $a=c$ , eccetera.
Date due o più grandezze distinte o no di $G$ , si deve poter definire la loro somma in guisa che $a+b=b+a$ ; $a+(b+c)=a+b+c$ . Si potranno così definire multipli di una qualsiasi grandezza $a$ ; e dovrà valere il postulato di Archimede che, se $b$ è un’altra qualsiasi grandezza di $G$ , esista un multiplo di $a$ che sia maggiore di $b$ . E dovranno anche esistere tutti i sottomultipli di una grandezza qualsiasi di $G$ . La somma di più grandezze di $G$ dovrà essere non minore di ogni suo addendo, eccetera eccetera.

Se una classe $G$ di grandezze gode delle precedenti proprietà, per essa si potrà porre il problema della misura. Tali, ad esempio, sono la classe delle lunghezze dei segmenti, la classe delle grandezze degli angoli; e queste classi sono specialmente semplici, perchè l’uguaglianza delle lunghezze di due segmenti, o dell’ampiezza di due angoli si riduce alla sovrapponibilità di tali segmenti o di tali angoli. Più complesse sono altre classi di grandezze (aree delle figure piane, volumi o pesi dei

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