Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/21

numeri reali

5

La seconda significa che:

$\left.{\begin{matrix}0<{\frac {1}{5}}\leq 0+1=1\\0,1<{\frac {1}{5}}\leq 0,1+{\frac {1}{10}}=0,2\\0,19<{\frac {1}{5}}\leq 0,19+{\frac {1}{100}}=0,20\\0,199<{\frac {1}{5}}\leq 0,199+{\frac {1}{1000}}=0,200,{\text{eccetera}}.\end{matrix}}\right\}$ (3)

È a tutti evidente l'analogia tra le (1), (2), (3). Unica differenza è la seguente: In ciascuna delle (1) compare due volte il segno $<$. Nelle (2) il primo dei segni $<$ è sostituito da un $\leq$; nelle (3) il secondo dei segni $<$ è sostituito da $\leq$.

E ciò perchè il numero $\textstyle {\frac {1}{5}}$ è uguale al numero decimale limitato $0,2=0,20=0,200=\ldots$; il quale compare, a partire da una delle (2) o delle (3) in poi, nei primi membri delle (2), nei secondi membri delle (3).

Un fatto analogo si presenta per ogni numero, che sia uguale a un numero decimale limitato. Così, per esempio:

$0,52=0,520000.....=0,51999.....$

perchè, per nota convenzione aritmetica, si considerano come uguali due numeri decimali l'uno formato da certe cifra seguite da infiniti zeri, l'altro formato dalle stesse cifre (tranne l'ultima cifra non nulla, che viene diminuita di $1$) seguite da infiniti $9$. Per tali sviluppi decimali valgono disuguaglianze analoghe alle (2), (3), mentre per ogni numeri decimale, che non sia del tipo ora studiato, valgono disuguaglianze analoghe alle (1). I primi numeri si possono scrivere in due modi distinti sotto forma di numero decimale; i secondi si possono scrivere in un sol modo come numeri decimali.

Diremo che due numeri $\alpha$, $\beta$ sono uguali fino alla $n^{esima}$ cifra decimale, se la parte intera e le prime $n$ cifre dopo la virgola nello sviluppo decimale di $\alpha$ (o in uno dei due sviluppi di $\alpha$, se $\alpha$ ammette due sviluppi decimali) sono uguali alla parte intera ed alle prime $n$ cifre dopo la virgola nello sviluppo, o in uno dei due sviluppi del numero $\beta$.