La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 6

§ 6.

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§ 6.


Esiste per l’energia di un campo elettromagnetico un’equazione analoga a quelle che vanno sotto il nome di principio di Hamilton e principio della minima azione nella dinamica ordinaria: si può dimostrare cioè la relazione

quando si suppongano nulle le variazioni ai limiti.

Per vedere questo si scriva:

[1]
[p. 13 modifica]sarà, per le equazioni di Hertz:

di più si introducano sei funzioni delle coordinate e del tempo, che ci riserviamo di determinare.

Facciamo le variazioni di queste funzioni: moltiplichiamo la prima delle [1] per , la seconda per ...... la sesta per ; sommiamo membro a membro, moltiplichiamo per e integriamo fra e otterremo:

Ora è evidente che si può scrivere:

e che 5 eguaglianze analoghe si potrebbero formare considerando i termini in , si ha dunque:

Ora si osservi, in modo simile a quanto si è fatto più su, che:

11 equazioni analoghe si potrebbero scrivere, sicchè, sostituendo, si ottiene:

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Se si ammette che siano nulle sulla superficie che racchiude il campo si possono cancellare i 12 termini dell’integrale che sono derivate parziali rispetto alle coordinate.

Ordinando ciò che resta rispetto ad si trova:

(*)

Le sono ancora in nostro arbitrio, le assoggetteremo alle equazioni seguenti.

Ciò posto l'equazione (*) diventa:

se le variazioni ai limiti sono nulle la parte integrata rispetto al tempo si annulla da sè, quindi bisogna che sia

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vale a dire

ciò che si voleva dimostrare.

Questo teorema si deve al prof. Vito Volterra1.

Note

  1. Vito Volterra. Sopra le equazioni fondameli tali della elettrodinamica. [Nuovo Cimento. (3). XXIX. 147].