La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce/Paragrafo 6

by Antonio Garbasso

§ 6.

../Paragrafo 5 ../Paragrafo 7 IncludiIntestazione 30 aprile 2020 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Antonio Garbasso - La teoria di Maxwell dell'elettricità e della luce (1893)

§ 6.

◄

Paragrafo 5

Paragrafo 7

►

§ 6.

Esiste per l’energia di un campo elettromagnetico un’equazione analoga a quelle che vanno sotto il nome di principio di Hamilton e principio della minima azione nella dinamica ordinaria: si può dimostrare cioè la relazione

$\delta \textstyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {W_{em}} \,dt=0,$

quando si suppongano nulle le variazioni ai limiti.

Per vedere questo si scriva:

[1]	$x_{1}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}$	$l_{1}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {L} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial z}}$
	$x_{2}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}$	$l_{2}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {M} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}+{\dfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial x}}$
	$x_{3}=\mathrm {A} \varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial t}}-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial x}}$	$l_{3}=\mathrm {A} \mu {\dfrac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}-{\dfrac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}+{\dfrac {\partial \mathrm {X} }{\partial x}}$

sarà, per le equazioni di Hertz:

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=l_{1}=l_{2}=l_{3}=0;$

di più si introducano sei funzioni $X.Y.Z.L.M.N$ delle coordinate e del tempo, che ci riserviamo di determinare.

Facciamo le variazioni di queste funzioni: moltiplichiamo la prima delle [1] per $\delta \,X$, la seconda per $\delta \,Y$...... la sesta per $\delta \,N$; sommiamo membro a membro, moltiplichiamo per $dt$ e integriamo fra $t_{0}$ e $t_{1}$ otterremo:

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint \,dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}\delta \,N\right.$

$-{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\delta \,Y-\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad -{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\delta \,N$

$\left.+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\delta \,X+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta \,Y+\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad +{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\delta \,N\right]=0.$

Ora è evidente che si può scrivere:

$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial t}}\delta \,X=\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathrm {X} \,\delta \,X\right)-\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\delta \,X\right)$

e che 5 eguaglianze analoghe si potrebbero formare considerando i termini in ${\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}\cdots {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial t}}$, si ha dunque:

$\textstyle _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \,N)\right]$

$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial t}}+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial t}}+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Z}{\partial t}}\right.$

$+{\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X+{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\delta \,Y+\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad +{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial x}}\delta \,N$

$\left.-{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\delta \,X-{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta \,Y-\quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad -{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial y}}\delta \,N\right]=0.$

Ora si osservi, in modo simile a quanto si è fatto più su, che:

${\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial z}}\delta \,X=-\mathrm {M} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {M} \,\delta \,X\right)$

11 equazioni analoghe si potrebbero scrivere, sicchè, sostituendo, si ottiene:

$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \,N)$

$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial t}}+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial t}}+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Z}{\partial t}}\right.$

$-\mathrm {M} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial z}}-\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial x}}-\cdots -\mathrm {Y} \,\delta \cdot {\frac {\partial N}{\partial x}}$

$+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {M} \,\delta \,X\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mathrm {N} \,\delta \,Y\right)+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mathrm {Y} \,\delta \,N\right)$

$+\mathrm {N} \,\delta \cdot {\frac {\partial X}{\partial y}}+\mathrm {L} \,\delta \cdot {\frac {\partial Y}{\partial z}}+\cdots +\mathrm {X} \,\delta \cdot {\frac {\partial N}{\partial y}}$

$\left.-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mathrm {N} \,\delta \,X\right)-{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathrm {L} \,\delta \,Y\right)-\cdots -{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mathrm {X} \,\delta \,N\right)\right]=0.$

Se si ammette che $X.Y...N$ siano nulle sulla superficie che racchiude il campo si possono cancellare i 12 termini dell’integrale che sono derivate parziali rispetto alle coordinate.

Ordinando ciò che resta rispetto ad $X.Y...N$ si trova:

$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {Z} \,\delta \,Z)]$

$-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[\mathrm {X} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial X}{\partial t}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\right.$

$+\mathrm {Y} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial Y}{\partial t}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}+{\frac {\partial L}{\partial z}}\right)$

(*)

$+\cdots \cdots$

$\left.+\mathrm {N} \,\delta \cdot \left(\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial L}{\partial t}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial z}}\right)\right]=0.$

Le $X.Y...N$ sono ancora in nostro arbitrio, le assoggetteremo alle equazioni seguenti.

$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial X}{\partial t}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}=-{\frac {\varepsilon }{4\pi }}\mathrm {X}$

$\mathrm {A} \,\varepsilon {\frac {\partial Y}{\partial t}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}+{\frac {\partial L}{\partial z}}=-{\frac {\varepsilon }{4\pi }}\mathrm {X}$

$\cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot$

$\mathrm {A} \,\mu {\frac {\partial N}{\partial t}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\mu }{4\pi }}\mathrm {Z} .$

Ciò posto l'equazione (*) diventa:

$_{t_{0}}^{t_{1}}\textstyle [\iiint \,dv(\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {X} \,\delta \,X+\mathrm {A} \,\varepsilon \,\mathrm {Y} \,\delta \,Y+\cdots +\mathrm {A} \,\mu \,\mathrm {Z} \,\delta \,Z)]$

$+\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[{\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left(\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \right)+{\frac {\mu }{8\pi }}\left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right)\right]=0;$

se le variazioni ai limiti sono nulle la parte integrata rispetto al tempo si annulla da sè, quindi bisogna che sia

$\delta \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\iiint dv\left[{\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left(\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \right)+{\frac {\mu }{8\pi }}\left(\mathrm {L^{2}+M^{2}+N^{2}} \right)\right]=0;$

vale a dire

$\delta \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {W_{\mathrm {em} }} \,dt=0,$

ciò che si voleva dimostrare.

Questo teorema si deve al prof. Vito Volterra¹.

Note

1. Vito Volterra. Sopra le equazioni fondameli tali della elettrodinamica. [Nuovo Cimento. (3). XXIX. 147].