La fisica dei corpuscoli/Capitolo 6/8

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 6 - Le trasformazioni radiattive

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 6 - Le trasformazioni radiattive

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8. — Le trasformazioni radiattive. — Da quanto si conosce sui fenomeni radiattivi si conclude che la radiattività è una proprietà degli atomi e non delle molecole. Gli atomi di queste sostanze, che vengono dette radiattive, sono atomi in decomposizione. Ma questa decomposizione non è un disfacimento totale dell’atomo. L’emissione di corpuscoli negativi o positivi dell’atomo non è in indefinito fino all’esaurimento di esso. Anzi è limitato generalmente ad un sol corpuscolo, in ogni caso ad un numero molto piccolo di corpuscoli. Il residuo dell’atomo dopo l’uscita di un corpuscolo α, o di un corpuscolo β, o di un corpuscolo α e uno β, o finalmente di un piccolo numero determinato di corpuscoli α e β, può essere ancora un edificio che abbia una certa stabilità. Allora esso costituirà da sè l’atomo di un corpo elementare con determinate proprietà, che saranno diverse tanto dall’elemento precedente da cui è disceso, come dagli altri che se ne potranno ottenere dopo successive emissioni di altri corpuscoli.

Le proprietà radiattive di una data sostanza vanno diminuendo col tempo. Questo fatto sperimentale è in pieno accordo con ciò che s’è detto. Anzi l’attività va decrescendo secondo una legge esponenziale, in modo che il tempo necessario perchè la sua attività si riduca ad un mezzo della primitiva, è sempre lo stesso qualunque sia il valore di attività da cui si parte. Questo valore del tempo che si può indicare con T è chiamato il periodo di una sostanza radiattiva.

Se indichiamo con I l’intensità dell’attività di una sostanza radiattiva ad un tempo t, e con $I_{0}$ quella che essa aveva all’inizio dei tempi, si potrà esprimere la I in funzione della $I_{0}$, del tempo, e di un coefficiente $\lambda$ che misura la velocità di decrescenza così:

134)	$I\,=\,I_{0}\,e^{-\lambda t}$

Il coefficiente $\lambda$ prende anche il nome di velocità di trasformazione. Se poniamo

135)	$\vartheta \,=\,{\frac {1}{\lambda }}$,

la grandezza $\vartheta$ è quella che si chiama la vita media della sostanza radiattiva, ed è il valore medio della vita individuale dei singoli atomi. I valori di $\vartheta$ per diverse sostante varia entro limiti grandissimi, da 1/500 di secondo a miliardi di anni. Il periodo è legato alla vita dalla relazione

136)	${\text{T}}=\vartheta \,\log 2$1.

Immaginiamo partire da una sostanza radiattiva elementare, primaria, ossia che non derivi da un’altra. Ogni volta che con successive emissioni di qualche corpuscolo dal suo atomo si passa per una forma che ha una certa stabilità, si potrà dire di avere una nuova sostanza elementare, perchè le sostanze si distinguono per i loro atomi. Il passaggio dall’una all’altra è ciò che si suol dire una trasformazione radiattiva. Se i corpuscoli emessi dalla prima sostanza avevano una massa d’inerzia sensibile, come quella di un corpuscolo $\alpha$, allora l’atomo della sostanza nuova avrà un peso atomico minore della precedente. E infatti i corpi radiattivi primari sono sempre a peso atomico molto elevato, quelle secondarie hanno peso atomico successivamente minore. Possono però trovarsi due sostanze radiattive con lo stesso peso atomico quando l’atomo dell’una si ottiene da quello dell’altra per l’emissione di un corpuscolo $\beta$ la cui massa pesante è trascurabile.

Le sostanze radiattive secondarie, ossia quelle che nascono dalla successiva trasformazione di una sostanza primaria, possono trovarsi contemporaneamente in uno stesso corpo, anzi vi si trovano in generale, perchè l’emissione di corpuscoli non si compie in un istante stesso per tutti gli atomi; e per un certo numero di atomi si può iniziare la seconda emissione quando per altri non s’è ancora compiuta la prima. In questo caso l’attività del corpo non seguirà una legge esponenziale semplice del tipo della 134) ma sarà data da una somma di più termini esponenziali con coefficiente $\lambda$ diverso dall’uno all’altro, perchè diversa è la vita delle varie forme di atomo.

Si può dimostrare che l’intensità di una radiazione determinata è proporzionale alla velocità di trasformazione $\lambda$. Chiamiamo infatti con N il numero di atomi di una determinata sostanza che possono emettere un determinato corpuscolo e con ciò trasformarsi. L’intensità I della radiazione corrispondente sarà evidentemente proporzionale alla variazione di N col tempo. Possiamo dunque porre

137)	${\text{I}}=-k{\frac {d{\text{N}}}{dt}}$,

dove k sarà una costante relativa a quella data trasformazione. Combinando con la 134) sarà

${\text{I}}_{0}\,e^{-\lambda t}=-k{\frac {d{\text{N}}}{dt}}$ .

Di qui abbiamo

138)	$d{\text{N}}=-{\frac {1}{k}}\,{\text{I}}_{0}\,e^{-\lambda t}dt$,

e integrando

${\text{N}}={\frac {1}{k\lambda }}\,{\text{I}}_{0}e^{-\lambda t}+{\text{C}}$ .

Possiamo dunque porre N sotto la forma

139)	${\text{N}}={\text{N}}_{0}e^{-\lambda t}$

in cui N rappresenta il numero di atomi decomponibili presenti all’istante t, mentre ${\text{N}}_{0}$ quello di atomi tali presenti all’inizio dei tempi.

Derivando la 139) si ha

140)	${\frac {d{\text{N}}}{dt}}=-\lambda {\text{N}}_{0}e^{-\lambda t}\,=\,-\lambda {\text{N}}$,

ossia la variazione del numero N è proporzionale allo stesso numero di atomi presenti, e quindi per la 137)

141)	${\text{I}}=k\lambda {\text{N}}$,

che dice appunto che l’intensità della radiazione è proporzionale al numero di atomi decomponibili presenti e alla velocità di trasformazione $\lambda$.

Quando nella sostanza radiattiva si trovassero presenti stadi diversi di trasformazione, ad ogni stadio corrisponde una intensità di radiazione della forma data per I. Così per es. per il radio possono trovarsi presenti contemporaneamente 4 forme di sostanze radiattive; l’intensità totale di radiazione prende allora l’espressione

142)	${\text{I}}=k_{1}\lambda _{1}{\text{N}}_{1}+k_{2}\lambda _{2}{\text{N}}_{2}+k_{3}\lambda _{3}{\text{N}}_{3}+k_{4}\lambda _{4}\,{\text{N}}_{4}$ .

Immaginiamo che una determinata sostanza R possa trasformarsi successivamente nell’ordine ${\text{R}}_{1},{\text{R}}_{2},{\text{R}}_{3}$... in questo senso che R produce ${\text{R}}_{1}$, ${\text{R}}_{1}$ si trasforma in ${\text{R}}_{2}$ e così di seguito. Si possono determinare i numeri N, ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, ${\text{N}}_{3}$, ${\text{N}}_{4}$... di atomi delle rispettive sostanze R, ${\text{R}}_{1}$; ${\text{R}}_{2}$, ${\text{R}}_{3}$, ${\text{R}}_{4}$... presenti ad un determinato istante t.

Supponiamo noti i coefficienti $\lambda$ relativi alle dette sostanze.

Allora sappiamo per la 140) che

${\frac {d{\text{N}}}{dt}}\,=\,-\lambda {\text{N}}$ .

Il numero $d{\text{N}}_{1}$ ossia la variazione del numero di atomi della sostanza ${\text{R}}_{1}$ in un secondo, sarà dato evidentemente dal numero di atomi R trasformati, meno il numero di quelli ${\text{R}}_{1}$ già ridotti ad ${\text{R}}_{2}$. Potremo dunque scrivere

143)	${\frac {d{\text{N}}_{1}}{dt}}=\lambda {\text{N}}-\lambda _{1}{\text{N}}_{1}$,

e similmente

144)	${\frac {d{\text{N}}_{2}}{dt}}\,=\,\lambda _{1}{\text{N}}_{1}\,-\,\lambda _{2}{\text{N}}_{2}$ .

Introducendo il valore di N dato dalla 139), avremo

${\frac {d{\text{N}}_{1}}{dt}}=\lambda {\text{N}}_{0}e^{-\lambda t}\,-\,\lambda _{1}{\text{N}}_{1}$ .

L’integrale di questa equazione è della forma

145)	${\text{N}}_{1}={\text{N}}_{0}\,(ae^{-\lambda t}\,+\,be^{-\lambda _{1}t})$ .

I valori dei coefficienti a e b si possono determinare². Ponendo che per $t\,=\,0$ sia ${\text{N}}_{1}\,=\,0$ si ricava

146)	${\begin{cases}a\,=\,\lambda (\lambda _{1}\,-\,\lambda )\\b\,=\,-\lambda (\lambda _{1}\,-\,\lambda )\\\end{cases}}$

Sicchè si può scrivere

147)	${\text{N}}_{1}={\frac {{\text{N}}_{0}\lambda }{\lambda _{1}\,-\,\lambda }}(e^{-\lambda t}\,-\,e^{-\lambda _{1}t})$ .

Analogamente, conosciuto il valore di ${\text{N}}_{1}$ si può sostituire nella 144) e integrando la equazione differenziale che ne risulta si ha

${\text{N}}_{2}={\text{N}}_{0}(ae^{-\lambda t}\,+\,be^{-\lambda _{1}t}\,+\,ce^{-\lambda _{2}t})$

in cui

148)

${\begin{cases}a\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}}{(\lambda _{1}\,-\,\lambda )(\lambda _{2}\,-\,\lambda )}}\\b\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}}{(\lambda \,-\,\lambda _{1})(\lambda _{2}\,-\,\lambda _{2})}}\\c\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}}{(\lambda \,-\,\lambda _{2})(\lambda _{1}\,-\,\lambda _{2})}}\\\end{cases}}$

Finalmente per ${\text{N}}_{3}$ si avrebbe

149)	${\text{N}}_{3}={\text{N}}_{0}\,(ae^{-\lambda t}\,+\,be^{-\lambda _{1}t}\,+\,ce^{-\lambda _{2}t}\,+\,de^{-\lambda _{3}t})$

in cui

150)

${\begin{cases}a\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )(\lambda _{3}-\lambda )}};b\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda -\lambda _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})(\lambda _{3}-\lambda _{1})}}\\c\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda -\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{3}-\lambda _{2})}};d\,=\,{\frac {\lambda \lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda -\lambda _{3})(\lambda _{1}-\lambda _{3})(\lambda _{2}-\lambda _{3})}}\\\end{cases}}$

Note

1. Confr. A. Debierne. Sur les transformations radiactives in Les idées modernes etc. p. 314, cit. s.
2. Confr. Rutherford. Radioactive Substances and their Radiactions. Cambridge, 1913.