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VI. I fenomeni della radiattività

numero di atomi R trasformati, meno il numero di quelli ${\text{R}}_{1}$ già ridotti ad ${\text{R}}_{2}$. Potremo dunque scrivere

143)	${\frac {d{\text{N}}_{1}}{dt}}=\lambda {\text{N}}-\lambda _{1}{\text{N}}_{1}$,

e similmente

144)	${\frac {d{\text{N}}_{2}}{dt}}\,=\,\lambda _{1}{\text{N}}_{1}\,-\,\lambda _{2}{\text{N}}_{2}$ .

Introducendo il valore di N dato dalla 139), avremo

${\frac {d{\text{N}}_{1}}{dt}}=\lambda {\text{N}}_{0}e^{-\lambda t}\,-\,\lambda _{1}{\text{N}}_{1}$ .

L’integrale di questa equazione è della forma

145)	${\text{N}}_{1}={\text{N}}_{0}\,(ae^{-\lambda t}\,+\,be^{-\lambda _{1}t})$ .

I valori dei coefficienti a e b si possono determinare¹. Ponendo che per $t\,=\,0$ sia ${\text{N}}_{1}\,=\,0$ si ricava

146)	${\begin{cases}a\,=\,\lambda (\lambda _{1}\,-\,\lambda )\\b\,=\,-\lambda (\lambda _{1}\,-\,\lambda )\\\end{cases}}$

Sicchè si può scrivere

147)	${\text{N}}_{1}={\frac {{\text{N}}_{0}\lambda }{\lambda _{1}\,-\,\lambda }}(e^{-\lambda t}\,-\,e^{-\lambda _{1}t})$ .

Analogamente, conosciuto il valore di ${\text{N}}_{1}$ si può sostituire nella 144) e integrando la equazione differenziale che ne risulta si ha

${\text{N}}_{2}={\text{N}}_{0}(ae^{-\lambda t}\,+\,be^{-\lambda _{1}t}\,+\,ce^{-\lambda _{2}t})$

1. Confr. Rutherford. Radioactive Substances and their Radiactions. Cambridge, 1913.