La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/11

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 3 - La velocità di diffusione e il cammino libero

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11. — La velocità di diffusione e il cammino libero. — I valori che abbiamo determinato per la velocità delle molecole non rappresentano la velocità con cui essi si muovono in uno spazio sufficientemente vasto ma solo quella con cui percorrono spazi piccolissimi tra un urto e l’altro contro le molecole. Se abbiamo ammesso che $a/c$ è il tempo che impiega una molecola a percorrere lo strato fra due piani la cui distanza è $a$ quando si muovono perpendicolarmente alle pareti, oppure $a/c\,cos\,\varphi$ quando si muovono con una inclinazione $\varphi$ il ragionamento valeva soltanto perchè tenendo conto del numero grande di molecole e di urti di poteva sempre supporre che, mentre per un urto una molecola viene deviata dalla sua direzione, c’è un altro urto che comunica ad un’altra molecola un moto nella direzione lasciata dalla prima. Questa supposizione è giustificata dai risultati.

Ma se vogliamo seguire il moto di una molecola determinata troveremmo che la velocità con cui essa si sposta in una determinata direzione è molto piccola rispetto alla velocità molecolare. La traiettoria di un molecola è una linea spezzata fatta di tanti tratti rettilinei variamente diretti e [p. 53 modifica]connessi fra loro da tratti più o meno curvilinei che corrispondono al momento dell’urto in cui subiscono l’azione delle forze intermolecolari. Difficilmente una molecola segue a procedere in una determinata direzione per un tempo apprezzabile. La velocità che abbiamo dedotto dall’equazione fondamentale della teoria è la velocità con cui la molecola percorre i segmenti rettilinei compresi tra due urti, e si potrebbe chiamare la mobilità delle molecole.

L’altra velocità che si potrebbe chiamare velocità di diffusione non interessa se non in problemi speciali, e anzi il valore medio di questa per tutte le molecole non sarà diversa da zero se non in casi speciali, quando cioè esiste una corrente in seno al gas o tutta la massa si sposta.

Nella sua traiettoria spezzata la molecola percorrerà segmenti rettilinei di lunghezza variabile da un istante all’altro, ma si potrà determinare un valore medio di questa lunghezza. Questo valore medio è ciò che si chiama il cammino libero medio. Questo concetto fu introdotto molto opportunamente dal Clausius ed ha un’importanza grande nella teoria dei gas. È evidente che si può giungere a determinare questa lunghezza per vie diverse, e si otterranno valori diversi, e più o meno approssimati a quello che dovrebbe essere il vero valore, secondo le ipotesi si avvicineranno più o meno allo stato reale delle cose.

Riporto qui il procedimento del Clausius perchè ha una speciale importanza didattica.

Supponiamo dapprima tutte le molecole ferme e disposte uniformemente, e una sola in movimento. Le molecole fisse siano disposte per esempio secondo i vertici dei cubi elementari in cui può dividersi il volume occupato dal gas. La distanza media tra due molecole o meglio, tra i centri di gravità di due molecole, sarò in questa ipotesi eguale allo spigolo di un cubo elementare e possiamo chiamarlo con $l$ . Diremo che una molecola urta in un’altra quando dopo di [p. 54 modifica]essersi avvicinata sufficientemente ad essa ne viene respinta; se pensiamo alle molecole come sfere elastiche l’urto avverrà quando le due sfere vengono a contatto, e allora l’elasticità ha l’effetto di una forza repulsiva. È dunque necessario introdurre le dimensioni delle molecole senza cui urto e repulsione non avrebbero significato. L’ipotesi più semplice — che nel porre una teoria è sempre la prima che deve scegliersi — è che le molecole siano delle sfere elastiche. Se $r$ è il raggio delle molecole, tutte eguali fra loro, una molecola verrà ad urtare in un’altra quando il centro della prima è arrivato ad una distanza $2r$ dal centro dell’altra. Questa distanza $2r$ ha un’importanza speciale e la indicheremo con $\varrho$ e a chiameremo il raggio della sfera di azione della molecola. Questo ci permette di considerare la molecola mobile come un punto senza dimensioni.

Osserviamo che tutto il volume in si trova il gas è un multiplo dei cubetti elementari ossia un multiplo di $l^{3}$ mentre lo spazio occupato realmente delle sfere di azioni delle molecole è un equimultiplo di ${\frac {4}{3}}\,\pi \,\varrho ^{3}$ ossia del volume di una sfera di azione. Si potrebbe dire subito come intuitivo il teorema seguente del Clausius: la lunghezza media del cammino libero di una molecola sta al raggio della sfera d’azione di una molecola come tutto il volume del gas sta allo spazio realmente occupato dalle sfere di azione delle sue molecole, ossia chiamando con $\lambda$ il cammino libero medio si avrà:

38)	${\frac {\lambda }{\varrho }}\,=\,{\frac {l^{3}}{{\frac {4}{3}}\,\pi \,\varrho ^{3}}}$

da cui si ricaverebbe subito

39)	$\lambda \,=\,{\frac {3}{4}}\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{3}}}$

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che è appunto il valore che trova il Clausius per $\lambda$ . Ma vediamo come ci si giunge.