La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/10

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - La velocità delle molecole

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

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10. — La velocità delle molecole — L’equazione fondamentale della teoria ci permette di calcolare la velocità delle molecole che, secondo le ipotesi, è un valore medio costante per tutte le molecole di uno stesso gas se la pressione e la temperatura restano costanti. Dalla formola 11) infatti si ricava

32)	$c\,=\,{\sqrt {\frac {3\,p\,v}{n\,m}}}$.

Il prodotto $n\,m$ è la massa totale del gas contenuto nel volume $v$ alla pressione $p$.

Se poi teniamo conto dell’equazione caratteristica dei gas combinando la 11) con la 27) avremo

33)	${\frac {1}{3}}\,n\,m\,c^{2}\,=\,{\text{R}}\,{\text{T}}$

da cui

34)	$c\,=\,{\sqrt {\frac {3\,{\text{R}}\,{\text{T}}}{n\,m}}}$

Se poniamo $M\,=\,n\,m$, e introduciamo la densità $\delta$ del gas, essendo $M\,=\,v\,\delta$ potremo scrivere l’ultima formola così:

35)	$c\,=\,{\sqrt {\frac {3\,{\text{R}}\,{\text{T}}}{v\,\delta }}}$ .

Questa formola ci permette di enunciare le due leggi seguenti:

la velocità delle molecole di un gas è proporzionale alla radice quadrata della sua temperatura assoluta;

la velocità delle molecole di gas diversi, alla stessa temperatura assoluta, è inversamente proporzionale alla radice quadrata della densità dei gas.

Questa seconda legge non vale per le densità diverse che può assumere uno stesso gas al variare della pressione, perchè dalla formola risulta che il fattore per cui verrebbe alterata la densità viene compensato dal divisore di cui viene affetto il volume.

Per calcolare il valore numerico della velocità posiamo servirci indifferentemente della 32) o della 34).

Partendo da quest’ultima e ricordando il significato della R dato dalla 29) potremo scrivere

36)	$c\,=\,{\sqrt {\frac {3\,\alpha \,p_{0}\,v_{0}\,{\text{T}}}{\text{M}}}}$

Prendiamo allora una quantità determinata di un gas, per esempio 1 chilogrammo. Se il gas è l’aria sappiamo che il volume di un tal peso di aria è di $0^{mc},7733$.

Se invece dell’aria si prende un altro gas il volume di 1 chilogrammo sarà invece ${\frac {0,7733}{\delta }}$ dove $\delta$ è la densità del gas.

La pressione $p_{0}$ sarà la pressione normale atmosferica di grammi 1033,3 per centimetro quadrato. Introducendo questi valori nella 36) tenendo conto che la massa M è uguale al peso diviso per l’accelerazione di gravità e riducendo tutto a centimetri e a grammi avremo

37)	$c\,=\,{\sqrt {\frac {3\,\times \,980\,\times \,1033.3\,\times \,773300\,\times \,{\text{T}}}{273,1\,\times \,\delta }}}\,=$ $=\,48469^{cm.}\,{\sqrt {\frac {\text{T}}{273,1\,\times \,\delta }}}$

Per l’aria a 0° centigradi si ha ${\text{T}}\,=\,1/\alpha$ e $\delta \,=\,1$ quindi la velocità delle molecole dell’aria a 0° è di 48469 cm. per sec., per un altro gas alla stessa temperatura si deve moltiplicare questo valore per ${\sqrt {\frac {1}{\delta }}}$. Così per es. prendendio l’idrogeno la cui densità rispetto all’aria è $\delta \,=\,0,06949$ si ottiene

$c\,=\,{\frac {48469}{\sqrt {0.06949}}}\,=\,183873$cm.

Per l’ossigeno il cui peso specifico è 1.10535 risulta

$c\,=\,{\frac {48469}{\sqrt {1.10535}}}=46100\;{\text{cm}}.$

Se invece della temperatura di 0° si volesse la velocità a 100° i valori trovati si dovrebbero moltiplicare per ${\sqrt {\frac {373.1}{273.1}}}\,=\,1.169$. Così la velocità delle molecole d’idrogeno risulterebbe di cm. 214947 e per l’ossigeno di cm. 53891.

Per ${\text{T}}=0$ si ha $c\,=\,0$ ossia allo zero assoluto non esiste moto traslatorio delle molecole.