La fisica dei corpuscoli/Capitolo 3/12

by Giuseppe Gianfranceschi

Capitolo 3 - La probabilità di una data escursione

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Giuseppe Gianfranceschi - La Fisica dei Corpuscoli (1920)

Capitolo 3 - La probabilità di una data escursione

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12. — La probabilità di una data escursione. — Consideriamo una molecola mobile in mezzo alle altre ferme e disposte come s’è detto ai vertici dei cubi elementari di spigolo $l$. La direzione della velocità della molecola sia la direzione $x$ che in generale non sarà parallela a nessuno degli spigoli del reticolato supposto. Vogliamo determinare quanto potrà procedere la molecola nella direzione $x$ senza urtare in nessun’altra molecola. Cominciamo dal determinare la probabilità che la molecola proceda di un elemento $dx$ senza urtare. Corrispondentemente a questo elemento avremo nello spazio uno strato elementare compreso fra due piani perpendicolari ad $x$ e alla distanza $dx$. La probabilità di attraversare questo strato si può determinare facilmente. Immaginiamo che tutte le molecole che sono incluse in esso vengano trasportate in modo da trovarsi tutte sullo stesso piano perpendicolare ad $x$; trattandosi di uno strato elementare questo procedimento è legittimo. Allora la probabilità che la molecola attraversi lo strato $dx$ è uguale a quella di attraversare questo piano senza urtare nelle molecole che vi sono distribuite. E questa probabilità sarà data dal rapporto tra la superficie libera del piano e quella occupata dalle sfere d’azione delle molecole. Per fissare le idee prendiamo sul piano l’unità di superficie; il numero di molecole contenute nel parallelepipedo di base 1 e di spessore $dx$ sarà $n\,dx$ se $n$ è il numero di molecole contenute nell’unità di volume. Le $n\,dx$ molecole verranno ad occupare sul piano una superficie $\pi \,\varrho ^{2}\,n\,dx$, mentre tutta la superficie è 1. La superficie libera sarà dunque

40)	$1\,-\,\pi \,\varrho ^{2}\,n\,dx$ .

E poichè la probabilità di passare attraverso questa superficie è data dal rapporto tra la superficie libera e la superficie totale, e questa è l’unità, così l’espressione ultima dà senz’altro la probabilità di passare attraverso quella superficie, e con ciò la probabilità di passare lo strato $dx$ senza urtare.

Osserviamo che per la disposizione in cui abbiamo supposto le molecole, il numero $n$ di molecole contenute nell’unità di volume è dato da

41)	$n\,=\,{\frac {1}{l^{3}}}$,

sicchè l’ultima espressione si può anche scrivere così

$1\,-\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,dx$ .

Ciò premesso vediamo come si può determinare la probabilità che una molecola percorra un cammino di lunghezza $x$. Se diciamo $a$ la probabilità che la molecola percorra un cammino eguale ad 1, quella per un cammino uguale a 2 sarà evidentemente $a^{2}$, per un cammino eguale a 3 sarà $a^{3}$, e in generale per un cammino eguale ad $x$ sarà $a^{x}$. Conviene esprime anche la prima probabilità $a$ in forma esponenziale. Diciamo perciò $-\alpha$ il logaritmo naturale di $a$, sarà negativo perchè $a<1$. Allora

	$a=e^{-\alpha }$
	$a^{x}\,=\,e^{-\alpha \,x}$

Se diciamo W la probabilità $a^{x}$, ossia la probabilità che la molecola percorra senza deviazioni un cammino di lunghezza $x$, sarà per ipotesi

42)	${\text{W}}_{x}\,=\,e^{-\alpha \,x}$

Si tratta di determinare $\alpha$.

Se prendiamo $x$ abbastanza piccolo, anzi se prendiamo addirittura un elemento $dx$ l’esponenziale corrispondente $e^{-\alpha \,dx}$ si può sviluppare fermandosi al secondo termine, trascurando le potenze di $dx$ superiori alla prima. Avremo dunque

$W_{dx}\,=\,e^{-\alpha \,dx}\,=\,1\,-\alpha \,dx$

ma noi abbiamo già calcolato questa probabilità e abbiamo trovato

$W_{dx}\,=\,1\,-\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,dx$ .

Confrontando queste due espressioni ricaviamo subito il valore di $\alpha$

$\alpha \,=\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,=\,\pi \,n\,\varrho ^{2}$ .

E allora l’espressione generale di W diventa

43)	$W_{x}\,=\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}x}$.