Gli Elementi d'Euclide/Appendice/Area delle figure rettilinee
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Area delle figure rettilinee.
6. Dicesi area di una figura il rapporto fra la superficie di quella figura e l’unità di superficie. Come unità di superficie si assume il quadrato che ha per lato l’unità lineare. Per brevità, di qui innanzi diremo in generale grandezza invece di rapporto della grandezza alla sua unità; in particolare diremo figura in luogo di rapporto della figura all’unità di superficie; retta, base, altezza, lato in luogo di rapporto della retta, della base, dell’altezza, del lato all’unità lineare (1).
Area del rettangolo, del quadrato. — Se dei due lati che contengono un rettangolo chiamiamo l’uno base e l’altro altezza, noi sappiamo [VI, 23] che il rapporto di due rettangoli è uguale al rapporto delle basi moltiplicato pel rapporto delle altezze: confrontando adunque un rettangolo col quadrato che ha per lato l’unità lineare, avremo:
Rettangolo = base X altezza.
Ne discende che
Quadrato = (lato)2.
Area del parallelogrammo. — Sappiamo [I, 35] che
(1) Baltzer, Planimetria, pag. 118.
un parallelogrammo è uguale ad un rettangolo che abbia la medesima base e la medesima altezza del parallelogrammo: avremo dunque
Parallelogrammo = base X altezza.
Area del triangolo. — Sappiamo [I, 41] che un triangolo è metà del parallelogrammo che ha la medesima base e la medesima altezza del triangolo; avremo adunque:
Triangolo = | base X altezza.
Area del trapezio. — Dicesi trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli. Un trapezio si scompone mediante una diagonale in due triangoli, ciascuno dei quali ha la stessa altezza del trapezio e per base uno dei lati paralleli del trapezio: avremo dunque
Trapezio — j somma dei lati paralleli X altezza.
Area d’un poligono qualunque, d’un poligono regolare. — In generale si troverà l’area d’un poligono qualunque unendo un punto qualsivoglia preso nel piano del poligono con tutti i vertici, e combinando le aree dei triangoli determinati da quel punto e da ciascun lato in guisa che ne risulti l’area del poligono (1).
Se il poligono è regolare (equilatero ed equiangolo), noi sappiamo [IV, 13 e 14] esistere un punto nel suo piano il quale ha la stessa distanza da tutti i lati (centro del cerchio inscritto) e da tutti i vertici (centro del cerchio circoscritto). Se adunque uniremo questo punto a lutti i vertici, il poligono risulterà composto di tanti triangoli quanti sono i lati, i quali avranno tutti ugual base (lato del poligono regolare) ed uguale altezza (raggio del cerchio inscritto od apotema): avremo pertanto
Poligono regolare = perimetro X apotema.
(1) Balter, Planimetria, pag. 106-114, 121. Osservazione. — In virtù di ciò che precede, molti teoremi aritmetici hanno il loro riscontro in teoremi geometrici: possiamo anzi dire che questi sussistono in quanto sussistono quelli, e reciprocamente. Così ad esempio, se a, b, c, d rappresentano misure di rette, le proposizioni aritmetiche rappresentale colle seguenti uguaglianze (la seconda delle quali si ricava dalla prima ponendo
a + b + c = d):
1a (a + b + c) d = ad + bd + cd,
2a ad + bd + cd = d2,
3a (a + b)b = ab + b2,
4a (a + by — a* + + 2ab,
5a (a + b) (a — b) + b2 = a2,
6a (2a + b) b + a2 = (a + b)2,
7a (a + b)2 + b2 == 2 (a + b) b + a2,
8a 4 (a + b) b + a2 = (a + 2b)2,
9a (a + b)2 + (a — b)2 = 2a2 + 2b2,
10a (2a + b)2 + b2 = 2a2 + 2 (a + b)2,
e le proposizioni del libro II che portano i medesimi numeri d’ordine hanno fra loro una simile mutua dipendenza. Lo stesso dicasi delle proposizioni 16* e 47* del libro VI in confronto del teorema che in una proporzione il prodotto delle quantità medie è uguale al prodotto delle quantità estreme.
La relazione che ha luogo fra i quadrati dei lati di un triangolo rettangolo [I, 47] avrà pur luogo fra i quadrati delle misure di essi lati; laonde, date le misure dei cateti, potremo conoscere quella dell’ipotenusa; e date le misure dell’ipotenusa e di un cateto, potremo conoscere quella dell’altro cateto.
7. Rapporto fra i perimetri e le aree dei poligoni simili. — Dati due poligoni simili, le ragioni che i lati del primo hanno ai corrispondenti lati del secondo sono tulle, per definizione, uguali fra loro: adunque [V, 12] anche la somma degli antecedenti, ossia il perimetro del primo poligono alla somma dei conseguenti, ossia al perimetro del secondo, avrà la stessa ragione che un Iato del primo ha al lato corrispondente dell’altro. Sappiamo inoltre (VI, 20] che due poligoni simili hanno fra loro ragione duplicata di quella che hanno fra loro due lati omòloghi. Se adunque indicheremo con Pepi perimetri di due poligoni simili, con A ed a le aree, con L ed l due lati omologhi, avremo:
P L A / L *.
p l ’ a l )’
La seconda relazione, supposto che L ed l rappresentino le misure di due lati omologhi, può scriversi
A V_
sotto la qual forma insegna che due poligoni simili stanno fra loro come i quadrali di due lati omologhi. Così trovasi enunciala comunemente la proposizione citata [VI, 20].
Due poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili. Difatti i lati dell’uno, essendo uguali fra loro, hanno ordinatamente ai lati dell’altro, che sono pure uguali fra loro, la stessa ragione. Per dimostrare che un angolo dell’uno è uguale ad un angolo dell’altro, immaginiamo i cerchi circoscritti ai poligoni e in essi i due segmenti clic contengono quei due angoli. Siccome ogni lato dei due poligoni taglia la stessa parte della circonferenza che gli è circoscritta (III, 28], così gli archi dei due segmenti avranno alle rispettive circonferenze, e però alle semicirconferenze, la medesima ragione: adunque anche gli angoli coi vertici alle circonferenze insistenti su quegli archi avranno all’angolo retto la medesima ragione [III, 31 e VI, 33], onde saranno uguali [V, 9]. Ma gli angoli che sono nei segmenti considerati, aggiunti ordinatamente ai precedenti, formano due retti [III, 22]; essi pure saranno dunque uguali fra loro.
Pertanto i perimetri di due poligoni regolari dello stesso numero di lati saranno fra loro come i lati dei due poligoni, e le aree come i quadrati dei medesimi lati. Ora se si considera il triangolo che è determinato nell’un poligono dal punto di mezzo di un lato, dall’estremità del lato stesso e dal centro del cerchio inscritto o circoscritto [vedi IV, 13 e 14], questo triangolo, i cui lati sono il raggio del cerchio circoscritto, quello del cerchio inscritto, e la metà di un lato del poligono, sarà evidentemente equiangolo ad un triangolo determinalo in modo analogo nell’altro poligono; onde come le metà dei lati, ovvero come i lati, così saranno fra loro i raggi dei cerchi circoscritti e i raggi dei cerchi inscritti: e perciò i perimetri di due poligoni regolari del medesimo numero di lati sono fra loro anche come ì raggi dei cerchi inscritti o circoscritti ai poligoni, e le aree come i quadrati dei medesimi raggi.