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| APPENDICE AGLI ELEMENTI D’EUCLIDE. | 397 |
Osservazione. — In virtù di ciò che precede, molti teoremi aritmetici hanno il loro riscontro in teoremi geometrici: possiamo anzi dire che questi sussistono in quanto sussistono quelli, e reciprocamente. Così ad esempio, se a, b, c, d rappresentano misure di rette, le proposizioni aritmetiche rappresentale colle seguenti uguaglianze (la seconda delle quali si ricava dalla prima ponendo a + b + c = d):
1a (a + b + c) d = ad + bd + cd,
2a ad + bd + cd = d2,
3a (a + b)b = ab + b2,
4a (a + by — a* + + 2ab,
5a (a + b) (a — b) + b2 = a2,
6a (2a + b) b + a2 = (a + b)2,
7a (a + b)2 + b2 == 2 (a + b) b + a2,
8a 4 (a + b) b + a2 = (a + 2b)2,
9a (a + b)2 + (a — b)2 = 2a2 + 2b2,
10a (2a + b)2 + b2 = 2a2 + 2 (a + b)2,
e le proposizioni del libro II che portano i medesimi numeri d’ordine hanno fra loro una simile mutua dipendenza. Lo stesso dicasi delle proposizioni 16* e 47* del libro VI in confronto del teorema che in una proporzione il prodotto delle quantità medie è uguale al prodotto delle quantità estreme.
La relazione che ha luogo fra i quadrati dei lati di un triangolo rettangolo [I, 47] avrà pur luogo fra i quadrati delle misure di essi lati; laonde, date le misure dei cateti, potremo conoscere quella dell’ipotenusa; e date le misure dell’ipotenusa e di un cateto, potremo conoscere quella dell’altro cateto.
7. Rapporto fra i perimetri e le aree dei poligoni simili. — Dati due poligoni simili, le ragioni che i lati del
