Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Prima/Delle due medie proportionali. Cap. IIII.
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DELLE
DUE MEDIE PROPORTIONALI.
CAP. IIII.
LEMMA.
Se AB, alla CD, haverà l’istessa proportione che hà E, alla FG, la metà di AB, alla CD, sarà come E, alla doppia di FG; siano divise per mezzo l’una, e l’altra AB, CD, nei punti H, e K, e fatta alla FG doppia la FL. Perche dunque
le AH, e CK, sono nel medesimo modo 15. del quinto.
parte delle molteplici AB, CD; haverà AH, alla
CK, la medesima proportione
di AB, alla CD, cioè quella che hà E alla FG, e
raddoppiati i conseguenti AH, à CD, farà come
E à FL.
PROBLEMA.
Date due linee rette A, e B, trovarne
due altre medie, in continua proportione.
Espongasi la linea retta CD, della quale, la
parte CE, sia uguale alla B, minore delle due date,
e sovr'essa constituiscasi il triangolo equicrure
CFE, co i lati uguali alla metà della maggiore
A; poi per il vertice F sia fatta la F G
equidistante alla CD, et doppia di CE, et i punti
EG congiunti con la EG. Habbiasi dopò questo
in una riga, ò lista HK, notata la KL, uguale
alla medefima metà di A, ò vero ad' uno de i
lati del triangolo CFE, la quale s’adattarà in
modo sopra la figura, che sempre il suo diritto
HL venghi ad’essere nel punto F, et il punto
estremo K, scorra per la linea ED, et con questa
legge tanto muovasi, finche il punto L, venghi ad’essere nella EG; come faria la FMD, all’hora
le due ED, FM saranno medie in continoua
proportione frà le due date, A, et B; cioè la
proportione che hà la prima A, alla ED, sarà la
medesima che quella di ED, alla FM, e di FM,
à B. Sia per la dimostratione fatta cadere dal
vertice F, la FN, perpendicolare alla base CE, et la
MD, prolungata in O, tanto che la DO sia uguale
à DM . Perche dunque la CE, è divisa per mezzo
in N, et per diritto v’è aggiunta la ED, sarà il
rettangolo CDE insieme col quadrato NE, uguale
al quadrato di ND, et posto comune 6. del secundo. 4. del primo. il
quadrato FN; il rettangolo CDE, col quadrato FE,
farà uguale al quadrato FD, cioè al rettangolo OFM, insieme col quadrato MD; e trattone i
due quadrati uguali EF, DM, remarà il 16. del sesto. rettangolo CDE, uguali al rettangolo OFM, et perciò
come OF, à CD così ED ad FM. Oltre à ciò
perche i due triangoli GFM, EDM, sono 4. del sesto. Lemma antecedente cor. alla equiangoli per rispetto della equidistanza delle linee, DE, FG, haverà la GF, alla FM, la medesima proportione che hà ED, à DM, e la FP, metà di FG, cioè la CE, alla FM, sarà come ED, alla MO
doppia di MD, è convertendo OM, ad’ ED, come
4. del Quinto. FM, à CE. et permutando OM, ad’ MF, come DE,
ad’ EC, e componendo è permutando insieme come OF, à CD, cosi FM, à CE; mà si è dimostrato
16. del Quinto. come OF, à CD, cosi essere ED, ad FM; et come
12. et 16. del quinto. FM, à CE, cosi OM, ad ED: dunq; OM, à DE,sarà
come DE, ad FM, et ED, à FM, come FM, a CE,
et per questo essendo le quattro linee OM, ED,
FM, CE, in continoua proportione, et la MO, uguale alla prima A, et CE alla quarta B le due DE,
FM, saranno medie proportionali frà le due
date da principio: Che è quello che si era proposto
voler fare.